隨機Navier-Stokes方程的近似最優控制問題

王建玲，張啟敏

(1.中國礦業大學銀川學院 機電動力與信息工程系，銀川 750011;2.寧夏大學 數學計算機學院，銀川 750021)

0 引言

隨機微分方程被廣泛應用于經濟、人口控制和流體力學等領域［1-2］。尤其對Navier-Stokes方程的研究更是許多學者研究的熱點問題。例如:文獻［3］給出了隨機Navier-Stokes方程最優控制存在的充分必要條件。文獻［4］研究了隨機Navier-Stokes方程數值解的收斂性。文獻［5］討論了隨機Navier-Stokes方程的脈沖控制。文獻［6］給出了隨機Navier-Stokes方程存在最優控制和ε-最優控制的條件。然而，對于隨機Navier-Stokes方程的近似最優控制的研究卻不多見。本文研究了隨機Navier-Stokes方程的近似最優問題，證明了近似最優存在的充分條件。本文得到的結論是文獻［3-6］的擴展。

本文討論如下隨機Navier-Stokes方程:

1 預備知識

記B(u)=B(u，u)，H是Hibert空間，V是Sobolev空間，V'是V的對偶空間，且V?H?V'。H空間的內積記為(·，·)，空間V和V'的內積記為＜·，·＞。

2 近似最優的充分條件

因此，由(11)式、(15)式和Holder不等式即得命題成立。

3 結語

本文研究了隨機Navier-Stokes方程的近似最優控制問題。通過Ito^公式，哈密頓函數，伴隨方程以及極大值原理，給出了近似最優控制存在的充分條件。

［1］張啟敏，聶贊坎.一類隨機人口發展系統的指數穩定性［J］.控制理論與應用，2004，21(6):907-909.

［2］Zhang QiMin，ZhangWeiGuo，Nie ZanKan.Convergence of the Euler scheme for stochastic functional partial differential equations［J］.Applied Mathematics and Computation，2004(155):479-492.

［3］烏仁，張啟敏.隨機Navier-Stokes方程最優控制存在的充分必要條件［J］.長春大學報:2008，18(4):5-9.

［4］張磊，張啟敏.隨機Navier-Stokes方程數值解的收斂性［J］.應用數學，2008，21(3):504-509.

［5］Menaldi J.L.，etal.Impulse control of stochastic Navier-Stokes equations［J］.Nonlinear Analysis，2003(52):357-381.

［6］Hannelore Lisie.Existense of optimal andε-optimal control for the stochastic equation［J］.Nonlinear Analysis，2002(51):95-118.

［7］Huang，J.，etal.Near-optimal control problems for linear forward-backward stochastic system［J］.Automatica，2009，11(16):1-8.

［8］K.Bahlali，etal.Necessary and sufficient conditions for near-optimality in stochastic control of FBSDEs［J］.System and Control Letters，2009，10(5):1-8.