基于點估計法的電力系統(tǒng)可靠性評估方法研究

丘文千

（浙江省電力設計院，杭州310012）

輸配電技術

基于點估計法的電力系統(tǒng)可靠性評估方法研究

丘文千

（浙江省電力設計院，杭州310012）

提出一種基于點估計法的電力系統(tǒng)概率可靠性評估方法，可為可靠性評估方法的改進與應用提供新的思路和方法。通過用元件運行容量與額定容量的比值來定義元件狀態(tài)，并定義了隨機變量的概率密度函數(shù)，將表示系統(tǒng)元件狀態(tài)的離散型隨機變量擴展為連續(xù)型隨機變量，使之在整個實數(shù)區(qū)間內有定義，并且在正常狀態(tài)和故障狀態(tài)與原來的定義一致。給出了系統(tǒng)元件降容狀態(tài)的可靠性指標計算方法，可滿足點估計法的計算要求。通過對點估計法的誤差分析，提出m階點估計偏移方法，可降低點估計法應用于電力系統(tǒng)可靠性評估的計算誤差。通過算例與解析法和模擬法進行了比較，驗證了方法的實用性和有效性。

電力系統(tǒng)；可靠性評估；點估計法；概率可靠性指標

1 概述

電力系統(tǒng)可靠性指標包括確定性指標和概率性指標，雖然各國都在積極進行概率可靠性研究，但應用仍以確定性準則為主[1]。隨著電力市場化改革的深入、可再生能源的大力發(fā)展，以及惡劣天氣的頻繁發(fā)生，電力系統(tǒng)面臨的不確定性因素日益增多，有必要開展系統(tǒng)概率可靠性評估，但大系統(tǒng)概率可靠性評估的巨大計算量是其廣泛應用的“瓶頸”，因此研究快速、準確的評估方法具有重要意義。

電力系統(tǒng)概率可靠性指標的數(shù)值計算方法主要有狀態(tài)枚舉法（解析法）和蒙特卡羅法（模擬法）。狀態(tài)枚舉法是對故障狀態(tài)遍歷的方法，是理論上的精確方法，但其計算量巨大，對于有n個元件的系統(tǒng)其全部故障狀態(tài)為2n個，故障狀態(tài)隨著系統(tǒng)元件數(shù)量的增加而呈指數(shù)級增長。由于現(xiàn)代電力系統(tǒng)規(guī)模、結構極其龐大和復雜，因此對大電力系統(tǒng)可靠性的精確計算實際上難以實現(xiàn)。蒙特卡羅法是概率模擬方法，為得到滿足精度要求的計算結果，通常也需要進行大量的模擬計算。為減少計算量，在實際應用中通常要簡化系統(tǒng)規(guī)模，或采用近似的可靠性評估模型，如對狀態(tài)枚舉法使用故障重數(shù)限制、截斷概率、故障分類等方法，對蒙特卡羅法采用重要抽樣法、分層抽樣法、控制變量法等，以及將狀態(tài)枚舉法和蒙特卡羅法相結合以揚長避短的混合法，還有運用遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡等智能方法和采用并行計算技術等。雖然取得很大進展，但計算量的“瓶頸”問題未能根本解決。

本文提出一種基于點估計法[2-4]的電力系統(tǒng)可靠性評估方法，是不同于解析法和模擬法的新方法，在一定條件下具有準確性較高和計算量較小等特點，可為可靠性評估方法的改進與應用提供新的思路。

2 電力系統(tǒng)可靠性評估模型

對于有n個系統(tǒng)元件的電力系統(tǒng)，其不同狀態(tài)下的可靠性指標，如電量不足期望值（EEENS）、電力不足概率（PLOLP）等，可表示為隨機變量X的函數(shù)f（X），其中X=（X1，…，Xn）T表示n個系統(tǒng)元件的狀態(tài)，其元素Xk表示元件k的隨機狀態(tài)。對于n個元件的某一狀態(tài)組合x（r），上標中的r表示狀態(tài)編號，f（x（r））表示狀態(tài)r的可靠性指標，系統(tǒng)可靠性指標為n個元件的全部狀態(tài)組合的可靠性指標與其狀態(tài)概率乘積之和，顯然等于f（X）的期望值，即

式中：pr為x（r）的狀態(tài)概率。

以上模型用于可靠性評估計算時，解析法（狀態(tài)枚舉法）通過逐一列舉全部元件狀態(tài)組合進行計算和匯總，模擬法（蒙特卡羅法）則通過隨機列舉一定數(shù)量的元件狀態(tài)組合進行計算和統(tǒng)計匯總。電力系統(tǒng)元件多，狀態(tài)組合極其龐大，是導致可靠性評估問題復雜化的重要原因。為簡化問題規(guī)模和提高針對性，通常將整個電力系統(tǒng)細分為發(fā)電系統(tǒng)、配電系統(tǒng)和輸電系統(tǒng)，其中輸電系統(tǒng)受發(fā)電系統(tǒng)制約，還要滿足電力潮流方程約束，所以輸電系統(tǒng)的可靠性評估問題通常比前二者更為復雜。

在輸電系統(tǒng)的可靠性評估中，f（x（r））可利用負荷供應能力（LSC）模型計算。LSC模型可表述為：在滿足系統(tǒng)節(jié)點功率平衡方程和發(fā)/輸/變電設備負載的運行限額等約束條件下的系統(tǒng)最大負荷供應能力。嚴格來說，此模型為非線性規(guī)劃模型：

式中：N為網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)；Pdi為系統(tǒng)節(jié)點i的負荷功率；x為系統(tǒng)狀態(tài)變量，可包括節(jié)點電壓、相角、電源功率、負荷功率及支路功率等。式（2.2）為目標函數(shù)，表示系統(tǒng)最大負荷供應能力；式（2.3）為等式約束，一般為系統(tǒng)潮流方程；式（2.4）為不等式約束，可包括對節(jié)點電壓、相角、電源功率、負荷功率及支路功率的取值條件。

在多重故障條件下，以交流模型為基礎的潮流計算容易產生不收斂問題，通常由系統(tǒng)無功電壓問題引起。由于通過無功優(yōu)化配置解決系統(tǒng)無功電壓問題更為經(jīng)濟合理，加之可靠性評估的復雜性也要求簡化計算，因此在電力系統(tǒng)可靠性評估中通常對模型作合理簡化，即不考慮由系統(tǒng)無功電壓問題導致的負荷供應不足或中斷，僅考慮系統(tǒng)節(jié)點的有功功率平衡和發(fā)/輸/變電設備的有功潮流約束，相關的模型有線性潮流模型、網(wǎng)流法模型和直流潮流模型等，其中直流潮流模型近似考慮了系統(tǒng)阻抗對有功潮流分布的影響，精度比其它2種模型更高。滿足直流潮流約束的模型可表示為：

滿足直流潮流約束的LSC模型為線性規(guī)劃模型。在模型中，式（2.5）為優(yōu)化目標項；式（2.6）為直流潮流方程約束，由于平衡節(jié)點b相角θb=0為已知量，且平衡節(jié)點b的發(fā)電出力不受約束，因而需去掉平衡節(jié)點對應方程中的相關項，即可刪除導納矩陣B及向量Pg，Pd，θ對應平衡節(jié)點b的行與列，或令其相關元素為0；式（2.7）為全系統(tǒng)功率平衡方程，有此方程可使平衡節(jié)點的發(fā)電出力也受約束，如果平衡節(jié)點的發(fā)電出力不受約束，則可取消該式。

對于發(fā)電系統(tǒng)可靠性評估，由于沒有電網(wǎng)潮流方程約束，LSC模型可以簡化，僅考慮系統(tǒng)有功功率平衡及相關變量的取值約束，可建立發(fā)電能力模型

由上述模型求得系統(tǒng)最大負荷功率Pds后，可按以下公式計算電量不足期望值EEENS和電力不足概率PLOLP。

對于電量不足期望值：

對于電力不足概率：

式中：pr為x（r）的狀態(tài)概率；Δt表示持續(xù)時間。

3 基于點估計法的可靠性評估方法

在上述可靠性評估模型中，隨機變量Xk（k=1，…，n）為離散型隨機變量，Xk符合（0-1）分布，即Xk=1表示元件k處于正常運行狀態(tài)，Xk=0表示元件k處于故障停運狀態(tài)，其分布律為：

式中：qk為元件k故障停運概率（即強迫停運率）；pk為元件k正常運行概率，pk+qk=1。

點估計法是一類根據(jù)隨機因素或隨機擾動的概率分布求取待求隨機變量各階矩的概率統(tǒng)計方法，Hong在Rosenblueth研究的基礎上提出了改進方法[2-3]，使點估計法得到重視和廣泛應用。與蒙特卡羅法相比，點估計法同樣可以很大程度利用現(xiàn)有的確定性模型與方法，并且計算量可大大減少。點估計法通過對f（X）作泰勒級數(shù)展開，用Xk的各階矩構成r個估計點，對于具有n個隨機因素的系統(tǒng)，常用的二點估計法或三點估計法僅需要進行2n或2n+1次確定性計算即可獲得f（X）的概率分布信息。根據(jù)點估計法的公式推導，要求隨機變量為連續(xù)型隨機變量，雖然文獻[4]中指出可將點估計法應用于連續(xù)型隨機變量（正態(tài)分布）和離散型隨機變量（二項式分布），但未見展開說明和論證。為在可信的基礎上將點估計法應用于離散型隨機變量，本文通過以下方法將Xk（k=1，…，n）擴展為連續(xù)型隨機變量。首先對變量Xk表示的元件狀態(tài)進行擴展，由原來的正常運行和故障停運2種狀態(tài)，擴展為用元件運行容量與額定容量的比值來定義的元件狀態(tài)。按此定義，元件正常運行為1，故障停運為0，大于0小于1表示元件降容運行，大于1表示過載運行，小于0時雖然可以規(guī)定某種特別的含義，但實際上沒有必要，只要求在數(shù)學意義上成立，重要的是元件的正常運行狀態(tài)和故障停運狀態(tài)與原來的定義一致，并在[0，1]區(qū)間內有定義，滿足點估計法的計算要求。顯然，上述擴展方法能滿足這些要求。在此基礎上定義隨機變量Xk的概率密度函數(shù)h（xk）：

式中：δ（x）表示狄拉克（Dirac）函數(shù)，或簡記為δ-函數(shù)[5]。δ-函數(shù)是廣義函數(shù)，工程上通常將其定義為函數(shù)序列的極限，即

其中：

根據(jù)δ-函數(shù)的定義，若f（x）為連續(xù)函數(shù)，則有：

這一性質表明，任何連續(xù)函數(shù)與δ-函數(shù)的乘積在（-∞，+∞）內的積分都有明確的意義。

通過上述方法將Xk擴展為連續(xù)型隨機變量，由式（3.2）定義的隨機變量Xk的概率密度函數(shù)h（xk），可求得隨機變量Xk的期望值μk及均方差σk，以及1-4階中心矩Mk，j及標準中心矩λk，j：

對于三點估計法，可求得待定系數(shù)、權重系數(shù)和估計點：

在LSC模型中與估計點參數(shù)xk，j相關的是支路的導納矩陣元素、線路最大輸送功率和發(fā)電最高出力。由（3.6）—（3.8）式，估計點分別為xk，1=1，xk，2=0，xk，3=μk，（k=1，…，n）。xk，1=1表示元件k保持正常運行狀態(tài)，xk，2=0表示元件k處于故障停運狀態(tài)，xk，3=μk表示元件k處于降容狀態(tài)（降容率為μk），這3種狀態(tài)都可以通過修改LSC模型中的導納矩陣元素、線路最大輸送功率和發(fā)電最高出力來實現(xiàn)。當待定系數(shù)ξk，j和權重系數(shù)rk，j確定后，按以下公式計算隨機變量f（X）的l階原點矩：

對于兩點估計法，可求得估計點xk，1＞1及xk，2＜0（k=1，…，n），由于取值點大于1或小于0對于LSC模型（2.5）—（2.11）或發(fā)電能力模型（2.12）-（2.15）都不是合理狀態(tài)，故無法運用。

4 方法的誤差分析

簡單起見，考慮單個隨機變量X1的情況（即n=1），分析三點估計法公式的截斷誤差[6，7]。三點估計法的估計點為

式中：x1，i（i=1，2，3）分別為隨機變量X1的3個估計點，μ1和σ1表示X1的均值和標準差，ξ1，i為待定系數(shù)。

將非線性函數(shù)f（x1）在μ1處按泰勒級數(shù)展開，

式中：f（k）（x）表示f（x）的k階導數(shù)。

隨機變量X1的j階中心矩M1，j為

式中：h（x1）為隨機變量X1的概率密度函數(shù)。

隨機變量函數(shù)f（X1）的一階原點矩，即均值m1為：

式中λ1，j為隨機變量X1的j階標準中心矩，

將x1，i（i=1，2，3）代入式（4.2），并分別乘以權重系數(shù)r1，i（i=1，2，3）后相加，得：

r1，i和ξ1，i滿足以下方程：

將式（4.7）的關系代入式（4.6），可得：

從式（4.8）中求得f（μ1）的表達式，代入式（4.4），可得f（X1）的一階原點矩為：

忽略式（4.9）中的高階泰勒級數(shù)展開項，則：

由式（2.1），為計算電量不足期望值和電力不足概率等可靠性指標僅用到f（X1）的一階原點矩m1。由式（4.10）計算一階原點矩m1的截斷誤差為f（x）的6階及以上泰勒級數(shù)展開項，如果f（x）的6階及以上導數(shù)全為零，則式（4.10）的截斷誤差為零。

由此可見，基于點估計法的可靠性評估方法特別適用于供給能力不足的系統(tǒng)。對于一般情況，為提高計算方法的準確性，使估計點位于系統(tǒng)供給能力不足的區(qū)間，可采用下面介紹的m階估計點偏移方法。對于n個元件的狀態(tài)變量x1，x2，…，xn，其中xk等于1表示元件k正常運行，其概率為pk；xk等于0表示故障斷開，其概率為qk=1-pk，將系統(tǒng)可靠性指標f（x1，x2，…，xn）由卷積公式展開：

在式（4.15）中，f（1，…，1）和f（1，…，1，0）因各元件狀態(tài)完全確定，可直接求得；對于（4.11）—（4.14）各式的最后一項，即f（0，x2，…，xn），f（1，0，x3，…，xn），…，f（1，…，1，0，xk+1，…，xn），…，f（1，…，1，0，xn），其中都有1個元件斷開，即在n-1狀態(tài)下運用點估計法計算，顯然，可使估計點移向系統(tǒng)供給能力不足的區(qū)間；再由式（4.11）—（4.15）遞推求得f（1，…，1，xn），…，f（1，…，1，xn-1，xn），f（1，…，1，xk，xk+1，…，xn），…，f（1，1，x3，…，xn），f（1，x2，x3，…，xn），直至f（x1，x2，…，xn）。將此方法定義為1階估計點偏移方法。對于更高的準確性要求，可將點估計法在系統(tǒng)n-m狀態(tài)下運用，通過開斷m個元件使估計點位于供應能力不足的區(qū)間，然后通過遞推公式求得原系統(tǒng)可靠性指標，將這個方法定義為m階估計點偏移方法。對于基本的點估計法（或稱為0階估計點偏移方法），對系統(tǒng)中n個元件的評估狀態(tài)數(shù)由2n個降至2n+1個，模擬故障為1重；對于1階估計點偏移方法，評估狀態(tài)數(shù)降至n2+1個，模擬故障為2重；對于2階估計點偏移方法，評估狀態(tài)數(shù)為n（n-1）（2n-1）/6+n+1個，模擬故障為3重；等等；即對于m階估計點偏移方法，評估的狀態(tài)數(shù)為n的m+1次多項式，需模擬的多重故障為m+1重。高階的偏移方法可以提高準確性，但也帶來程序的復雜性和計算量的增加。另一方面，雖然m越小計算越簡化，但還取決于對準確性的要求，須根據(jù)系統(tǒng)狀況及準確性要求選擇合適的m值。在供電能力較寬松的條件下，不使用偏移方法，相對誤差很大，但絕對誤差可能并不大，實際上，對于供電能力較寬松的系統(tǒng)，可靠性應該不是最關注的問題。

基于點估計法的可靠性評估方法的特點，可以在系統(tǒng)規(guī)劃中發(fā)揮更大作用，如要找出在單重故障條件下對系統(tǒng)可靠性影響較大的元件，可通過計算系統(tǒng)n-1的可靠性指標：f（0，x2，…，xn），f（x1，0，x3，…，xn），…，f（x1，…，xn-1，0），其中指標較大者對應于單重故障條件下對系統(tǒng)可靠性影響較大的元件。同樣，通過計算系統(tǒng)n-k的可靠性指標，可找出k重故障條件下對系統(tǒng)可靠性影響較大的元件，且由于k值越大，就越能產生系統(tǒng)供給能力不足的狀態(tài)，與模擬法和解析法相比在計算速度和精度上就更有優(yōu)勢。

5 算例與分析

5.1 算例1

以3機發(fā)電系統(tǒng)[8]為例，分別運用狀態(tài)枚舉法和點估計法進行發(fā)電系統(tǒng)可靠性評估，結果示于表1，其中EEENS為電量不足期望值，PLOLP為電力不足概率。用機組運行容量與額定容量的比值來定義機組狀態(tài)，隨機變量X=（X1，X2，X3）T表示3臺機組的運行狀態(tài)，系統(tǒng)有功功率平衡及相關變量約束按式（2.16）—（2.19）確定。本例中，系統(tǒng)最大負荷為82 MW，3臺機組分別為40，40，20 MW，任意1臺機組停運就會導致系統(tǒng)電力電量短缺。由于供電能力偏緊，所以僅1階估計點偏移方法的評估結果就具有很好的準確度。

表1 發(fā)電系統(tǒng)可靠性評估結果

5.2 算例2

以文獻[9]的例8-1為輸電系統(tǒng)可靠性算例，系統(tǒng)規(guī)模為6節(jié)點13支路。采用包含全系統(tǒng)功率平衡方程的直流潮流模型，可靠性評估結果比較見表2，各算法誤差見表3。表中通過容量系數(shù)乘以支路最大輸送容量來調整系統(tǒng)供電能力，考察其對各種算法的影響。當容量系數(shù)較大，即系統(tǒng)供電能力較寬松時，蒙特卡羅法和點估計法的相對誤差都會增加，主要是由于可靠性指標絕對值較小而產生較大的相對誤差。對于蒙特卡羅法，當系統(tǒng)供電能力較寬松時，故障事件對可靠性指標的影響減小，不利于可靠性指標的累積，也是產生誤差的原因。對于點估計法，根據(jù)第4節(jié)的分析，選擇合適的m階估計點偏移方法，可以提高評估的準確度。由表2、表3可知，隨著m的增加，誤差下降，當m=4時，誤差不到0.5%。在本例中各算法求解LSC模型的次數(shù)，狀態(tài)枚舉法為8 192次，蒙特卡羅法為10 000次，基本的點估計法為27次，1階偏移方法為170次，2階偏移方法為664次，4階偏移方法為4 087次，各算法計算時間大體與求解LSC模型的次數(shù)成正比。用本文方法對系統(tǒng)n-1進行可靠性評估，結果示于表4，可以確定支路2-6和4-6是單重故障條件下對系統(tǒng)可靠性影響較大的元件。

6 結語

本文提出了一種基于點估計法的電力系統(tǒng)可靠性評估方法。根據(jù)點估計法的公式推導，要求隨機變量為連續(xù)型隨機變量。通過以下方法將表示系統(tǒng)元件狀態(tài)的離散型隨機變量Xk（k=1，…，n）擴展為連續(xù)型隨機變量：用元件運行容量與額定容量的比值來定義元件狀態(tài)，并利用δ－函數(shù)定義隨機變量X的概率密度函數(shù)，轉換后的連續(xù)型隨機變量在整個實數(shù)區(qū)間內有定義，且在正常狀態(tài)和故障狀態(tài)與原來的定義一致。

表2 輸電系統(tǒng)可靠性評估結果比較

表3 輸電系統(tǒng)可靠性評估計算誤差

表4 各支路對系統(tǒng)可靠性的影響分析

輸電系統(tǒng)可靠性指標f（x）可利用LSC模型計算。在LSC模型中，與估計點參數(shù)xk，j相關的是支路k的導納矩陣元素、支路傳輸功率和電源出力。對于三點估計法，xk，1=1表示元件k處于正常狀態(tài)，xk，2=0表示元件k處于故障狀態(tài)，xk，3=μk表示支路k處于降容率為μk的降容狀態(tài)，這3種狀態(tài)均可以通過修改LSC模型中導納矩陣元素、支路傳輸功率和電源出力限值實現(xiàn)。對于發(fā)電系統(tǒng)可靠性評估，由于沒有電網(wǎng)潮流方程約束，LSC模型可以簡化為僅考慮系統(tǒng)有功功率平衡及相關變量的取值范圍約束的發(fā)電能力模型。

在基于點估計法的電力系統(tǒng)可靠性評估方法中，f（x）是分段連續(xù)函數(shù)，在各段連接點處f（x）的一階導數(shù)不連續(xù)，使得f（x）的高階導數(shù)為零條件不滿足，是產生計算誤差的重要原因。根據(jù)誤差分析，如果能使估計點位于系統(tǒng)供給能力不足的區(qū)間，有利于減小計算誤差。因此，基于點估計法的可靠性評估方法特別適用于供給能力不足的系統(tǒng)。對于一般情況，為提高計算方法的準確性，本文提出了使估計點移向系統(tǒng)供給能力不足區(qū)間的m階估計點偏移方法。選擇較大的m可提高準確性，但代價是增加計算量和程序的復雜性，選擇較小的m雖可使計算簡化，但須滿足對準確性的要求，故應根據(jù)系統(tǒng)狀況及準確性要求選擇合適的m值。

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（本文編輯：龔皓）

Research on Power System Reliability Evaluation Based on Point Estimation Method

QIU Wen-qian
（Zhejiang Electric Power Design Institute，Hangzhou 310012，China）

A method for power system probabilistic reliability assessment based on PEM is proposed in this paper,which provides new ideas and methods for the improvement and application of reliability assessment. The state of a element is defined by using the ratio of its operation capacity to rated capacity，and the probability density function of the random variable is defined，such that a discrete random variable which expresses the state of the element is expanded to a continuous random variable，which enables the definition in whole real region and conformity with original definition in the points of its normal and outage states.The calculation method of reliability index at capacity reduction state of system elements is given to meet the requirement of calculation by point estimation.Through analysis on the error of PEM，a method called m-order migration for estimation points is put forward，which can reduce the calculation error of point estimation method applied in power system reliability assessment.Through comparison between examples，the analytic method and the simulation method，the practicability and validity of the approach are verified.

power system；reliability assessment；point estimate method；probabilistic reliability index

TM744

：A

：1007-1881（2013）08-0001-08

2013－01－11

丘文千（1952-），男，上海人，教授級高級工程師，從事電力系統(tǒng)規(guī)劃、工程設計與技術管理工作。