伽利略與骰子問題

科學(xué)大師愛因斯坦有一句名言：“上帝不擲骰子。”這是他對(duì)隨機(jī)性或不可精確預(yù)期性所持態(tài)度的濃縮。顯而易見的是，若摒除名言中的觀點(diǎn)或是非，大師對(duì)擲骰子的可能情形卻是一種間接肯定，而著名的天文學(xué)家伽利略就曾經(jīng)對(duì)擲骰子的問題進(jìn)行過數(shù)學(xué)化的思考。

據(jù)說在17世紀(jì)，一位喜愛賭博的意大利貴族由于自己的喜好，不得不思考這樣的數(shù)學(xué)問題：取3枚均勻的骰子，每枚骰子的6個(gè)面都分別刻著1～6的點(diǎn)數(shù)。同時(shí)拋擲這3枚骰子，然后考慮得到的3枚骰子點(diǎn)數(shù)之和，顯然有些和數(shù)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多些，有些和數(shù)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)少些。他所關(guān)心的是：3枚骰子點(diǎn)數(shù)之和等于9與等于10的機(jī)會(huì)是否相等？許多同道中人根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷出現(xiàn)這兩者的可能性不同，究其原因卻都說不出所以然。這位貴族倒是認(rèn)真琢磨了下，盡管玩骰子帶有很大的隨機(jī)成分，但無論如何，3枚骰子各面的點(diǎn)數(shù)構(gòu)成總和為9的情況有6種：（1，2，6）、（1，3，5）、（1，4，4）、（2，2，5）、（2，3，4）、（3，3，3）。類似，總和等于10的情況也有6種：（1，3，6）、（1，4，5）、（2，2，6）、（2，3，5）、（2，4，4）、（3，3，4）。看起來，點(diǎn)數(shù)之和等于9與等于10的可能性應(yīng)相同才對(duì)。

這種判斷被經(jīng)驗(yàn)主義為上的同道們嘲笑，所以為此困惑的貴族向伽利略請(qǐng)教。伽利略研究并解答了這個(gè)問題，他采用的方法既簡(jiǎn)單又直觀，就是把三顆骰子分別標(biāo)上①、②、③，然后對(duì)照點(diǎn)數(shù)之和為9的前提，列出各骰子的對(duì)應(yīng)可能情況表（如下）：

從表中不難看出，如果一組骰子點(diǎn)數(shù)各不相同，就有6種可能情形；如果一組骰子點(diǎn)數(shù)有兩個(gè)相同，就有3種可能情形；如果一組骰子點(diǎn)數(shù)都相同，則只有1種可能情形，所以點(diǎn)數(shù)之和為9的情形共有6+6+3+3+6+1=25種，而點(diǎn)數(shù)之和為10的情形就應(yīng)有6+6+3+6+3+3=27種，你不妨自己動(dòng)手列出類似的表格。……