一種Pt100溫度傳感器的動態熱響應模型*

朱 杰，郭 濤*

(1.中北大學儀器科學與動態測試教育部重點實驗室，太原030051;2.中北大學電子測試技術國家重點實驗室，太原030051)

溫度傳感器的動態響應時間是影響測溫速度的主要因素，也是衡量溫度傳感器動態測試性能的一個重要參數。在工農業、國防、航天和科研等許多領域，對溫度傳感器的動態響應時間大小都有具體的要求。研究溫度傳感器動態測溫過程響應時間的影響因素和數學模型，對于溫度傳感器動態過程測量精度和控制系統的實時性具有十分重要的作用和工程價值[1－4]。由于 Pt100溫度傳感器具有精度高，穩定性好，測量范圍寬等優點，因此，研究Pt100溫度傳感器的動態響應時間是十分有意義的，對溫度測量領域的研究和應用具有一定的參考價值。

本文主要對Pt100溫度傳感器建模，分析金屬保護膜溫度分布模型和氧化鋁粉層的溫度分布模型，并對此進行了數值仿真。試驗驗證，從20℃升溫至50℃時的動態響應時間的仿真模型能夠較為精確的描述測溫的實際工況，試驗結果與Pt100的動態響應模型具有良好的一致性。

1 Pt100溫度傳感器建模

Pt100溫度傳感器的內部結構見圖1，制冷系統工質在Pt100溫度傳感器外壁流動，工質溫度通過金屬保護膜傳到Pt100溫度傳感器內部，保護膜內部與電阻絲之間采用氧化鋁粉加速溫度的傳遞，最終實現溫度信號的輸出。如圖3所示，金屬保護膜外壁到內壁的溫度從T1(x，t)降低到T2(x，t)，溫度再通過氧化鋁粉傳到Pt100溫度傳感器的電阻絲處，此過程溫度從T2(x，t)降到T3(x，t)，本文的建模思想基于如下假設:①在Pt100鉑電阻外表面流動的工質的熱流密度恒定，忽略接觸熱阻;②金屬保護膜較薄，可假設溫度只是一維的長圓柱導熱[5－6];③氧化鋁粉起到加快溫度傳遞的作用，其導熱特性可認定為與空氣直接導熱一致，可以假設其為二維導熱。

圖1 Pt100溫度傳感器內部結構圖

1.1 金屬保護膜溫度分布模型

根據假設①鉑電阻外壁空氣熱流量為qm，空氣溫度為T1(r，t)，傳到內壁的溫度為 T2(r，t)，如圖2所示。

圖2 金屬保護膜導熱示意簡圖

根據假設②，可建立保護膜的一維動態溫度場模型:

邊界條件:

溫度無量綱化:

式中:Tf為被測熱流體溫度，Ti為鉑電阻處于室溫下的初始溫度，a為導熱系數。

其中:

金屬保護膜內壁溫度:

式中:h為Pt100外表面換熱系數，r為瞬時保護膜厚度，r0為保護膜厚度，λ為保護膜導熱系數。

Xm(r)為其特征函數:

特征值為ξm=βmr0，特征函數的模為

綜上:可得到金屬保護膜的瞬時傳熱量Q0－r，將其無量綱化得到:

式中:

1.2 氧化鋁粉層的溫度分布模型

1.2.1 氧化鋁粉層的溫度分布模型

圖3中，內壁溫度與電阻絲之間的溫度從T2(r，t)降到T3(r，t)，保護膜內壁到電阻絲的溫度分布模型由二維非穩態導熱定理可知，換熱管的溫度分布模型為:

圖3 Pt100溫度傳感器內部傳熱示意圖

邊界條件:

對方程(6)進行求解，得到氧化鋁粉層的溫度分布模型為:

式中:t為時間，a'為導熱系數，Xm(x)為特征函數，βm為特征值，C1，m為待定常數。

式中:α1(Tf，vf)為Pt100溫度傳感器外表面與被測熱流體間的傳熱系數與流體溫度Tf和速度vf有關，由于被測熱流體流體外掠Pt100溫度傳感器，可依據Gnielinski公式可得:

式中:λf(Tf)為Pt100溫度傳感器外表面與被測熱流體的導熱系數，Re(vf)為熱流空氣的雷諾數，Pr(Tf)為與溫度有關的動態普朗特數，ct為放熱系數:，f為Darcy阻力系數:f=(1.82lgRe－1.64)－2。式(8)中的溫差:ΔT=Tf－Ti，A=πdl為Pt100溫度傳感器外表面與被測熱流體接觸的表面積。基于能量守恒定理，式(5)、式(8)聯立可得:

基于式(9)可求得無量綱化的時間常數:

式(10)表明Pt100溫度傳感器的動態響應時間與金屬保護膜直徑d3及其導熱系數λ1、氧化鋁層直徑d2及其導熱系數λ2以及感應電阻絲絕緣骨架直徑d1有關。

綜上所述，式(4)、式(5)、式(7)、式(9)、式(10)為非線性方程，不容易獲得精確解，可基于擁有強大計算功能的 MATLAB/Simulink[7－8]對所述非線性方程組求得Pt100對流體進行測溫時的液固耦合瞬態溫度場，并最終求得Pt100相應時間。

2 數值仿真

基于Simulink建立動態仿真模型，如圖4所示。為驗證此Pt100溫度傳感器的動態響應模型的準確性，設定額定測量工況見表1。

圖4 Pt100動態熱響應計算程序框圖

表1 Pt100動態響應的實驗與仿真初始工況

通過Simulink的動態仿真，得到了液、固相互耦合的Pt100金屬保護膜與氧化鋁粉的溫度分布情況，如圖5所示。由圖5可知:金屬保護膜大約在12 s溫度達到50℃，并趨于穩態;氧化鋁粉的溫度大約在16 s達到50℃并趨于穩態，氧化鋁粉的變化較之金屬保護膜的溫度變化有一定的滯后，并且達到準穩態以后氧化鋁粉的溫度略低于金屬保護膜。

圖5 Pt100溫度傳感器測溫動態響應溫度分布

為了直觀的描述出Pt100溫度傳感器在測溫過程中的情況，圖6、圖7描述了Pt100在準穩態階段的金屬保護膜以及氧化鋁粉的溫度分布。圖6、圖7的波動誤差均在10－2范圍內，可見Pt100在準穩態測溫是較為穩定的，并且氧化鋁粉與電阻絲接觸溫度在49.90℃ ～49.907℃之間變化比金屬保護膜內壁溫度在49.946℃ ～49.995℃之間變化略低。

圖6 Pt100溫度傳感器金屬保護膜準穩態溫度分布

圖7 Pt100溫度傳感器氧化鋁粉準穩態溫度分布

綜合圖5～圖7分析可得到Pt100溫度傳感器在實際測溫中測到的溫度值小于實際溫度，并且由圖5可以看出Pt100溫度傳感器從初始溫度20℃到50℃的流體溫度需要經歷大約16 s，存在一定的滯后性。

基于Pt100熱物性在Simulink下進行動態仿真，由式(10)得到Pt100溫度傳感器的參數變化對其動態響應時間的影響，限于篇幅，僅分析其金屬保護膜直徑的變化對動態響應時間的影響，如圖8所示。

圖8 金屬保護膜直徑對動態響應時間常數的影響

圖8表明Pt100溫度傳感器動態響應時間隨著金屬保護膜的直徑的增大而增大，當金屬保護膜直徑增大到10 mm時，動態響應時間突然階躍增大，可以看出金屬保護膜的直徑是影響Pt100溫度傳感器動態響應時間的一個重要的參數。

3 實驗驗證

為驗證Pt100溫度傳感器的動態響應模型，用中北大學研制的精度為0.05℃、動態響應速度為6 s的高精度溫度傳感器作為標準傳感器來標定實驗環境，采用四線制接法連接Pt100，其中兩條測試線通過激勵電源，另外兩條引線作為放大電路的輸入傳感引線，Pt100溫度傳感器的激勵電流要盡量的小，過大會使鉑電阻的自熱影響到測試準確度，本文的恒定電流為1.012 5 mA，實驗示意圖如圖9所示。

圖9 Pt100溫度傳感器動態響應時間實驗示意簡圖

實驗時，首先將Pt100和高精度溫度傳感器放置在由恒溫空調控制的標定溫度為20℃的室溫環境下，當Pt100的測量溫度穩定后，快速將兩個傳感器放入溫度為50℃的HWS－I型標準水槽中，要求完全插入實驗裝置，盡量使兩個傳感器相近放置，在放入水槽的同時啟動采集裝置，采集10 min的數據，然后，將采集的信號通過usb接口送入計算機內;最后，用VC編制的溫度采集系統分析處理，顯示數據[9－12]，圖形處理情況如圖 10 所示(2 min ～10 min后的數據趨于穩定，圖10中只顯示了0～2 min內的圖形數據)。

圖10 PT100動態響應實驗值與仿真值分布

通過圖10，可以發現，仿真的數值與試驗所得到的滯后的時間基本相等，但是在實際情況中，由于溫度傳感器的落入水槽時的速度及電路采集裝置等系統誤差導致在溫度上升區間，仿真結果與實際測量結果存在一定的誤差。

利用誤差評價原理[13－14]對仿真值和實驗值進行誤差分析，以評價出模型的仿真精度，誤差分析見表2。

表2 仿真模型精度誤差

表2 中，Emax(f)/K、Emin(f)/K、E1(f)/K、E2(f)/K分別為最大、最小絕對誤差、平均誤差、標準差，E1(f)/K、E2(f)/K的值較小，排除實際外界測量因素，可見仿真模型精度較高。并且在準穩態階段的絕對誤差維持在0.1℃左右。

4 結論

(1)本文從金屬保護膜溫度分布和氧化鋁粉層的溫度分布情況對Pt100的動態響應模型進行了分析，通過仿真和試驗得出Pt100從20℃到50℃的時間響應常數大約為16s，平衡后，溫度比50℃略低，精度大約為0.1℃;

(2)通過實驗驗證本文模型能夠較為精確的模擬P t 1 0 0溫度傳感器實際測溫特性;

(3)根據式(10)可知，可以通過(1)選用熱導率高的材料，(2)縮小金屬保護膜直徑和電阻絲絕緣骨架直徑，來減小溫度傳感器的動態響應時間，對實際制造過程具有指導意義。

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