隨機匯率下的信用違約互換定價模型

王 楊，倪昱婧，張寄洲

（上海師范大學數理學院，上海 200234）

隨機匯率下的信用違約互換定價模型

王 楊，倪昱婧，張寄洲

（上海師范大學數理學院，上海 200234）

在隨機匯率的假設下，通過倒向Kolmogrov方程，運用結構化方法建立了信用違約互換的定價模型，得到了美元市場上信用違約互換價格的顯式解，并給出了相關的金融意義分析.

隨機匯率；信用風險；信用違約互換；結構化方法.

0 引 言

隨著全球經濟一體化，越來越多的外國投資者把投資目標鎖定在新興市場，以謀求更高的投資收益.另一方面，由于全球經濟的逐步發展，新興市場利用外資總額的比重在逐步攀升，其中就包括了對外借款，即向外國投資者融資和融券.這樣，國外投資者就面臨了國內發債方的信用風險及匯率風險.

信用違約互換(簡稱CDS）是一種有效轉移信用風險的信用衍生產品，它涉及到CDS買方、賣方及債券發行第三方.因債券持有人一般都會面臨發行第三方違約等信用風險問題，既而會選擇購買一份CDS.在合約期內，CDS買方會定期向CDS賣方支付一定的費用，這部分費用相當于是保險金(見圖1）.若債券在合約期內發生違約，則CDS賣方必須支付一定的補償給CDS買方；若債券在合約期內沒有發生違約，則CDS賣方不發生任何的資金支付.由此可見，CDS相當于是一份關于債券發行第三方的保險合同，其實質是轉移了第三方的信用風險.在違約事件發生時，CDS賣方可以有兩種支付方式：實物支付和現金支付.實物支付是指CDS賣方以一定的價格回收，購買CDS買方手中所持有的違約債券.現金支付是指CDS賣方支付一定的金額以補償債券違約給CDS買方所帶來的損失.

圖1 CDS流程圖

近年來，隨著國際金融市場動蕩加劇，信用風險問題日益突出，尤其是2008年美國的次貸危機更凸顯了信用風險度量和管理的重要性.信用違約互換具有將信用風險從市場風險中分離出來并能有效轉移信用風險的特點，從而使它成為金融機構規避和管理信用風險的重要工具和有效手段.然而，由于信用風險具有非系統性、收益可偏性以及數據獲取困難等特點，使得信用違約互換的定價問題十分困難.因此，對信用違約互換進行研究具有理論和現實雙重意義.

研究信用風險一般有兩種方法：結構化和約化方法.結構化方法是將公司資產作為變量，設置一個破產邊界，通過基本假設和無套利原理，得出公司的違約密度函數，從而得到產品的定價模型.到目前為止，主要有如下幾種常用的模型：Merton(1974）模型［1］，該模型假定企業擁有單一的債務結構(零息債券），債券到期日企業價值下降到一定邊界以下時發生違約，這個邊界稱為違約邊界；Black和Cox (1976）模型［2］，該模型放松了關于違約時間的假定，認為違約不只發生在債務的到期日，在其債務到期之前的任何一個時間，只要公司資產跌至違約邊界，違約就發生.結構模型認為違約是可以預測的，因此有一定的局限性且常常與實際情況不符.約化方法是將違約看成一個外在的Possion過程.從市場數據中得到違約強度，以此來推斷產品的價格.主要模型有：Jarrow和Turnbull(1995）模型［3］，為首個約化模型；Jarrow，Lando和Turnbull(1997）模型［4］，在該模型中，違約強度是有限狀態下的馬爾可夫過程，違約強度由信用等級轉移矩陣所確定.約化模型很好地彌補了結構化模型的缺陷.

在信用違約互換模型研究方面，Duffie［5］(1999）首先對信用違約互換定價問題進行了研究.王瓊和陳金賢［6］(2003）考慮突發事件對違約概率的影響，建立了一個基于跳-擴散過程的信用違約互換的定價模型.Leung和Kwok［7］(2005）用約化方法，建立了帶有交易對手風險的信用違約互換定價模型.周鵬和梁進［8］(2007）在Merton的結構化方法框架下，通過求解偏微分方程得到公司的違約密度函數，給出了信用違約互換的定價公式.Bai等［9］(2007）用約化方法考慮了通過引進一個雙曲類型的衰減函數來表示一方違約對另一方違約強度的影響，對信用違約互換進行定價.詹原瑞等［10］(2008）利用Copula函數，研究了一籃子信用違約互換的定價問題.馬俊美和梁進［11］(2008）在隨機利率Vasicek模型下，研究了一籃子信用違約互換的定價問題.李淑錦和李勝宏［12］(2010）考慮在回收率非零的情形下，用違約強度刻畫互換賣方和參照實體間的違約傳染問題，給出了違約傳染相關下的信用違約互換估價.同時，還分析了清算成本和替代成本對定價的影響.

本文作者研究的CDS問題涉及兩個市場：人民幣市場和美元市場.文中假設發債第三方的主營業務范圍在國內人民幣市場，同時，在國外美元市場進行融資和融券.一般國內經營的公司會選擇在國外上市或融資和融券，主要有以下幾個原因：(1）考慮到分散風險；(2）公司采取了有效的反兼并收購的策略；(3）公司擁有了更多的融資渠道；(4）提升自身品牌或公司知名度，為進一步擴大海外市場份額做準備.對于國外美元市場上的交易對手來說，為國內市場上的發債方公司提供融資和融券也具有一定的現實金融意義.一方面，受挫于信貸危機，美國本土公司進行信貸業務的量急劇下降，相反，越來越多中國的中小型公司選擇在美國上市；另一方面，對于國外銀行來說，為國內中國公司進行融資和融券可以獲得更高的融資收益(成本）.因此所研究的問題和結論具有一定的實際金融意義.

本文作者研究隨機匯率下的信用違約互換定價模型.假設互換的買方和賣方同處于美元市場，而債券發行第三方位于人民幣市場.同時，互換賣方受政府擔保，無任何信用風險.國外投資者(互換買方）除了面臨國內債券發行第三方的信用違約風險外，還面臨了匯率風險.在隨機匯率的情況下，運用結構化方法求出了國內債券發行第三方的違約密度函數，進而得到了此模型下定價問題的顯式解.最后也給出了結論的金融意義分析.

2 模型假設

(1）市場無摩擦，不考慮稅收和交易成本.

(2）rf為國外美元市場上的無風險利率且為常數.

(3）τ為發債第三方的違約發生時刻.q(t）為發債第三方的違約密度函數.

(4）Rf為發債第三方違約發生時，在美元貨幣下的債券回收率且為常數.

(5）S為互換買方定期支付給賣方的CDS保費，T為互換合約的到期時間.

(6）國內債券發行方的標的資產V服從幾何Brown運動

這里的公司資產V用人民幣衡量，其中μv是公司資產的期望回報率，σv是公司資產的波動率，μv和σv都為常數，ω(1）(t）是標準Brown運動.

(7）匯率F服從幾何Brown運動

這里的匯率表示1單位人民幣可以兌換成的美元金額，其中μF是匯率的期望回報率，σF是匯率的波動率，μF和σF都為常數，ω(2）(t）是標準Brown運動.

(8）ρ表示dω(1）(t）和dω(2）(t）之間的相關系數且為常數.

(9）D為人民幣貨幣下，發債第三方的破產邊界且為常數.

3 定價模型與求解

令0＜t1＜t2＜…＜tn＝T，這里ti(i＝ 1， 2，…，n）是CDS的保費支付日.Δti＝ti-ti-1(i＝ 1， 2，…，n），tnτ和tnτ＋1分別表示在違約時刻τ(0＜τ≤T）之前和之后的保費支付日.違約時刻τ＝inf｛t｜Vt≤D｝.

互換買方的保費支出的期望為：

互換買方在違約發生時刻，獲得補償的期望為

于是信用違約互換的保費S為

因此該問題即轉換為求人民幣市場上債券發行方在美元市場上的公司違約密度函數.運用結構化方法來求解.設P(V，F，t；T）為發債公司在隨機匯率下t時刻的違約概率，即

利用倒向Kolmogorov定理可知P(V，F，t；T）是以下邊值問題在區域｛D≤V＜∞，0≤F＜∞，0≤t≤T｝上的解，

其中U(V，F，t；T）為發債公司的在隨機匯率下t時刻的生存概率.∞，0≤t≤T｝，方程(5）變為

利用Fourier變換，方程(7）轉變為

根據泊松公式，可以得到方程(9）的解為：

綜上，q(t）已求出，將其代入(3）式，便可求出隨機匯率下美元市場上CDS產品的價格S.

4 金融意義分析

下面討論CDS價格與各參數之間的關系.

(1）圖2給出了國內發債公司負債率V／D與CDS價格S之間的變化關系.取rf＝0. 03，τ＝0. 75，Rf＝0. 6，T＝ 2，μv＝0. 2，σv＝0. 3，μF＝0. 1，σF＝0. 2，ρ＝0. 2，F＝0.155.由圖2可知，當資產負債率V／D不斷減少，CDS的價格S不斷增大.這是因為當國內發債方的資產負債率減少時，債券發生違約的可能性會不斷增大，為了有效轉移這類信用風險，持有此類債券的投資者會選擇購買CDS，從而增大了CDS的價格S.

(2）圖3給出了公司資產V與匯率F的相關性ρ和CDS價格S的變化關系.取rf＝0. 03，τ＝0. 75，Rf＝0. 6，T＝ 2，μv＝0. 2，σv＝0. 3，μF＝0. 1，σF＝0. 2，V／D＝ 3，F＝0.155.由圖3可知，隨著相關性ρ的不斷減小，CDS的價格S不斷增大.當相關性較大為正時，公司資產V與匯率F兩者幾乎受同一經濟或市場性因素的影響；當相關性為零時，國內發債方公司資產V不受匯率F的影響，兩者獨立；當相關性不斷減小為負數時，公司資產V與匯率F的變化方向截然相反，在這種情況下，即使國內發債方運營情況良好，但因受制于匯率的負相關性影響，違約的可能性不斷增大，此時CDS的價格S也因為違約可能性的增大而不斷增大.

(3）圖4給出了回收率Rf與CDS價格S之間的變化關系.取rf＝0. 03，τ＝0. 75，ρ＝0. 2，T＝ 2，μv＝0. 2，σv＝0. 3，μF＝0. 1，σF＝0. 2，V／D＝ 3，F＝0.155.由圖4可知，當回收率Rf不斷減小，CDS的價格S不斷增大.這是因為隨著回收率的不斷減小，持有此類債券的投資者面臨發債方的信用違約風險會不斷增大.購買CDS能較好的轉移債券違約所帶來的風險，減小損失，因此CDS的價格S會增大.

圖2 公司資產負債率與CDS價格的變化關系

圖3 相關性ρ和CDS價格S的變化關系

(4）圖5給出了合約期限T與CDS價格S之間的變化關系.取rf＝0. 03，τ＝0. 75，ρ＝0. 2，Rf＝0. 6，μv＝0. 2，σv＝0. 3，μF＝0. 1，σF＝0. 2，V／D＝ 3，F＝0.155.由圖5可知，當合約期限T不斷增大時，CDS的價格S不斷增大.這是因為，出于轉移信用風險的目的，一般投資者購買的CDS合約期限都與所持有的債券期限相同.隨著合約期限的不斷增大，國內發債方受各種經濟或市場因素的影響變大，投資者面臨的風險也就變大，CDS的價格也因此而上升.

圖4 回收率Rf與CDS價格S的變化關系

圖5 合約期限T與CDS價格S的變化關系

5 結 論

本文作者考慮隨機匯率的情況下，假設發債方位于人民幣市場，對美元市場上發行的信用違約互換(CDS）的定價問題進行了研究.利用結構化方法，通過倒向Kolmogrov方程，給出了美元市場上CDS產品的價格S的顯式解.通過金融數據分析，討論了各個參數的具體金融意義.得到如下結論：當國內發債方公司資產負債率V／D不斷減小；或國內發債方公司資產V與匯率F(每單位人民幣兌換美元）的相關性不斷減小；或信用違約互換(CDS）的回收率Rf不斷減小；或合約的期限T不斷增大時，信用違約互換的價值均將不斷增大.

參考文獻：

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［11］ 馬俊美，梁進.一籃子信用違約互換定價的偏微分方法［J］.高校應用數學學報， 2008，23（4）：427-436.

［12］ 李淑錦，李勝宏.有傳染違約相關情形下信用違約互換的估價［J］.高校應用數學學報， 2010，25（3）：253-262.

Pricing model of credit default swap w ith stochastic foreign exchange rate

WANG Yang，NIYujing，ZHANG Jizhou
(College of Mathematics and Sciences，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China）

A pricingmodel is established by using the structure approach and the backward Kolmogrov equation under the assumption of stochastic foreign exchange rate.The explicit solution of credit default swap is obtained for the dollarmarket.And a correlative financial analysis is given.

stochastic foreign exchange rate；credit risk；credit default swap；structure approach

F 224.9 O 175.2

A

1000-5137(2013）02-0130-07

（責任編輯：馮珍珍）

2012-12-26

上海市教委重點項目(13ZZ107）；上海師范大學一般科研項目(SK201211）

王 楊(1980-），女，上海師范大學數理學院講師；倪昱婧(1987-），女，上海師范大學數理學院碩士生；張寄洲(1958-），男，上海師范大學數理學院教授.