完全零單半群的某些性質(zhì)

崔菊芬，張建剛

（上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，上海 200234）

完全零單半群的某些性質(zhì)

崔菊芬，張建剛

（上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，上海 200234）

討論了完全零單半群S的夾心陣P和結(jié)構(gòu)群G的交換性對其性質(zhì)的影響，推廣了完全單半群中的相應(yīng)結(jié)果，研究了當(dāng)S中每個不含零的子帶均為左零或者右零帶時S中元素的特征，并進(jìn)一步刻畫了完全零單半群冪等元的逆元的分布情況.

完全零單半群；完全單半群；夾心矩陣

1 預(yù)備知識

眾所周知，正則半群是半群代數(shù)理論的主要研究對象.完全零單半群是其中最基礎(chǔ)的一個子類，它們在正則半群中起著重要的作用.因此，關(guān)于這類半群的研究一直受到許多人的重視.在1928年，俄國數(shù)學(xué)家СушкеВич系統(tǒng)地研究了特殊的完全零單半群——有限單半群的結(jié)構(gòu)，可以看做是完全零單半群研究的開始.1940年，Rees.D討論了任意完全零單半群的結(jié)構(gòu).Rees的結(jié)論由A.H.Clifford和G.B. Preston在其1961的專著中得到了簡潔而優(yōu)美的表述［1］，A.H.Clifford和G.B.Preston稱之為Rees定理.

由Rees定理，每一個完全零單半群都同構(gòu)于一個Rees矩陣半群M0［G；I，Λ；P］.通過對集合I，Λ的分類，可以得到Rees矩陣半群的非零塊，并可證明它們是完全單子半群.進(jìn)一步將討論S夾心陣P和結(jié)構(gòu)群G的交換性對S的性質(zhì)的影響.在文章的第二部分分了3個層次討論了S的性質(zhì).文章的第三部分討論了完全零單半群與純正相關(guān)的一些性質(zhì)以及冪等元的逆元的分布情況.

定義1.1令S是一個半群，E(S）表示其冪等元集合.若e∈E(S），稱e為本原冪等元，如果對任意的f∈E(S），

定義1.2一個含0的半群S叫做null半群，若S中任意兩個元素的乘積是0.

定義1.3不含0的半群S是單的，若S沒有真理想.含0的半群S叫做零單半群，若

(i）除｛0｝和本身之外不再有其他的理想；

(ii）S2≠｛0｝.

零單半群S稱為完全零單半群，如果S含有一個本原冪等元.

令G為群，e是G的單位元，I，Λ是兩個非空集合，令P＝(pλi）是一個Λ×I矩陣，其中元素取自于G0＝G∪｛0｝(稱為G0上的Λ×I矩陣），滿足：

即P中每行每列都有非零元(稱P正則）.

令S＝(I×G×Λ）∪｛0｝，定義S上的運(yùn)算“·”為：?(i，a，λ），(j，b，u）∈S，

引理1.1［1］如上定義的S是一個完全零單半群，記為S＝M0［G；I，Λ；P］.反之，每個完全零單半群都可以如此構(gòu)造.特別的，若矩陣P中元素均為群G的元素，元素運(yùn)算定義為：

則S＼｛0｝是一個完全單半群，記作S＝M［G；I，Λ；P］.反之，每個完全單半群都可以如此構(gòu)造.

令S＝M0［G；I，Λ；P］是一個完全零單半群.其中矩陣P稱為完全零單半群S的夾心陣.對每一個i∈I，記Λi＝｛λ∈Λ：pλi≠0｝；對每一個λ∈Λ，記Iλ＝｛i∈I：pλi≠0｝.設(shè)εI和εΛ分別為I和Λ上的等價關(guān)系.它們的定義如下：

記包含i的εI類為i*，包含λ的εΛ類為λ*.由εI和εΛ的定義可知，矩陣P＝(pλi）被分成若干個子塊i*×λ*，并且對所有的i∈i*和λ∈λ*，要么pλi＝ 0，要么pλi≠0.

定義1.4對所有的i∈i*，λ∈λ*，都有pλi≠0.則稱i*×λ*是夾心矩陣P的一個非零塊.反之稱為零塊.

矩陣P的正則性可以保證對于每一個i*，均存在λ*使得i*×λ*是非零塊.

令S是一個半群，元素a∈S稱為正則的，如果存在x∈S使得a＝axa，若S中每個元素均正則，則稱S是一個正則半群.完全(零）單半群是正則半群.S的冪等元集合記作E(S）.正則半群稱為純正的，若E(S）是子半群.對任意的a∈S，如存在x∈S使得a＝axa，x＝xax，稱x為a的逆元，記a的逆元集合為V(a）.令S是一個半群，定義其上的如下關(guān)系，稱作格林關(guān)系.

且H＝R∩L，D＝L R.令a∈S，P為S上的格林關(guān)系，Pa表示a所在的P類.

文中未定義的術(shù)語和結(jié)論，請參看文獻(xiàn)［2］，［3］.

2 完全零單半群中結(jié)構(gòu)群G的交換性對S的影響

若一個半群S有如下性質(zhì)，對于S中的任意元素x，y，都有xy＝y(tǒng)x，稱半群S是交換半群(或阿貝爾半群）.設(shè)S是一個正則半群，E(S）表示其冪等元集合，則由E(S）生成的子半群＜E(S）＞稱為S的核，記作C(S）.在這一部分主要討論完全零單半群中的非零塊隨著夾心陣P和結(jié)構(gòu)群G交換性而產(chǎn)生的變化.假定Rees矩陣半群S＝M0［G；I，Λ；P］，e是群G的單位元.從P中的元素是可交換的、P包含在G的中心、G是阿貝爾的這3個層面來討論S非零塊的性質(zhì).

引理2.1［3］令完全單半群S＝M0［G；I，Λ；P］，

(1）對任意的a≠ 0，La＝Sa＼｛0｝，Ra＝aS＼｛0｝.

(2）S是正則半群，且僅有兩個D類，分別為｛0｝和D＝S＼｛0｝.如果a，b∈D，則或者ab＝ 0，或者ab∈Ra∩Lb，后者發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)La∩Rb包含有一個冪等元.

令(0≠）a＝(i，g，λ）∈S，由引理2. 1，結(jié)合Rees矩陣半群的運(yùn)算，可以記La＝Lλ，Ra＝Ri.進(jìn)而Ha＝La∩Ra＝Lλ∩Ri＝Hiλ.容易理解，Hiλ是一個群，當(dāng)且僅當(dāng)pλi≠ 0，且此時該群H類的冪等元為(i，是夾心矩陣P的一個非零塊，即對所有的i∈i*，λ∈λ*，都有pλi≠ 0，記Si*×λ*＝∪｛Hiλ：i∈i*，λ∈λ*｝.很顯然Si*×λ*是一些群的并.相應(yīng)的稱Si*×λ*是完全零單半群S的非零塊，類似的，可以定義完全零單半群S的零塊.對完全零單半群S的每一個H類必屬于某一個零塊或非零塊.

定理2.1設(shè)S為完全零單半群.則S每一個非零塊構(gòu)成S的完全單子半群；S的每個零塊和0構(gòu)成S的null子半群.

證明不失一般性，設(shè)

若Si1*×λ3*構(gòu)成S一個非零塊.則對于任意的有pλi≠0成立，且Hiλ為群H類.由引理2.1(1），Hi1λ3，Hi1λ4在同一個R中，從而Hi1λ3∪Hi1λ4構(gòu)成子半群，同理可以證明，Hi2λ3∪Hi2λ4，Hi1λ3∪Hi2λ3，Hi1λ4∪Hi2λ4構(gòu)成子半群.任意的a∈Hi1λ3，b∈Hi2λ4，由于pλ 4，i2≠ 0，由引理2.1(2），ab∈Hi1λ4?eq Si1*×λ3*，從而Si1*×λ3*構(gòu)成子半群.又因?yàn)镾i1*×λ3*僅有一個D類，所以它是S的一個完全單子半群.

若Si1*×λ3*構(gòu)成S的一個零塊.則對于任意的i∈，λ∈，有pλi＝0成立.對任意的a，b∈Hiλ，由引理2.1(2），ab＝0.對任意的，由引理2.1 (2），ab＝0.從而，S的每一個零塊添零后均為S的一個null子半群.定理證畢.

以下討論P(yáng)，G中元素的交換性對完全零單半群S的影響.完全單半群S稱為過阿貝爾的，如果對任意的e∈E(S），He為阿貝爾群.

引理2.2［2］對于完全單半群S＝M［G；I，Λ；P］，若P中的元素是可交換的，則S滿足恒等式ax0a0y0a＝ay0a0x0a.

定理2.2若P中的元素是可交換的，則對S的每一個非零塊Si*×λ*，

(1）C(Si*×λ*）是過阿貝爾的.

(2）對任意的e，f，g，h∈E(Si*×λ*），若ef H gh，則有efgh＝ghef.

(3）Si*×λ*作為S的完全單子半群滿足恒等式ax0a0y0a＝ay0a0x0a.

證明(1）設(shè)e1，…，em，f1，…，fn∈E(Si*×λ*），則e1…em，f1…fn∈C(Si*×λ*）.若e1…emH f1…fn，為方便，不妨取由完全零單半群的乘法及假設(shè)條件可知道，i＝k，u＝θ.不妨假設(shè)：

其中a，b均為P中元素或者P中元素作為群G的子群＜P＞中元素的逆元的乘積.由條件P中的元素是可交換，進(jìn)而，P中的元素與子群＜P＞中元素的也交換，從而P中的元素與a，b都交換，故

所以C(Si）是過阿貝爾的.

(2）由(1）容易得到.(3）由引理2.2可得.

完全單半群稱為中心的，如果任意兩個冪等元的乘積落在其所在最大子群的中心里面.

引理2.3［2］對于完全單半群S＝M［G；I，Λ；P］，若P屬于是G的中心，則S滿足恒等式a0x0a＝ax0a0.

定理2.3若P屬于是G的中心，則對S的每一個非零塊Si*×λ*，

(1）Si*×λ*是中心的.

(2）Si*×λ*作為S的完全單子半群滿足恒等式a0x0a＝ax0a0.

證明(1）對任意的u）.顯然Hiμ是包含ef的極大子群.

對任意的a＝(i，g，u）∈Hef，因?yàn)镻是G的中心，

故ef落在包含它的極大子群的中心里面.由e，f的任意性，得證.

(2）由(1）及引理2.3可得.

引理2.4［2］對于完全單半群S＝M［G；I，Λ；P］，若G是阿貝爾的，則S滿足恒等式a0xa＝axa0.

定理2.4若G是阿貝爾的，則對S中任意的非零塊Si*×λ*，

(1）Si*×λ*是過阿貝爾的.

(2）Si*×λ*作為S的完全單子半群滿足恒等式a0xa＝axa0.

證明 (1）Si*×λ*是S的完全單子半群，且它的結(jié)構(gòu)群也為G.完全單半群的每一個H類都同構(gòu)與G，由于G阿貝爾的，所以Si*×λ*是過阿貝爾的.

(2）由(1）及引理2.4可得.

3 純正性質(zhì)

正則半群S稱為純正的，如果冪等元集合E(S）構(gòu)成子半群.特別的，對于完全零單半群S＝M0［G；I，Λ；P］，若S純正，則任意的，由引理2.1可得兩種情形成立：

定理3.1令S＝M0［G；I，Λ；P］為一個完全零單半群，且S是純正半群.對任意的i，j∈I，λ，u∈Λ，若pλi，puj≠ 0，則

證明必要性顯然，只需證明充分性.

同樣的方法，可以證明其他情形，從而證明了B＝｛e，f，g，h｝為一個子帶，且B中不含零.

又因?yàn)棣耍絬或者i＝j(luò)，不妨設(shè)λ＝u且i≠j，即e L f.下證對任意的g∈B，有g(shù) L e成立.

重復(fù)上面過程計算gf，結(jié)合λ＝u，可得

由(3.1），(3.2）可知ξ＝λ＝u，即g L e.從而B為左零帶.類似的，若λ≠u且i＝j(luò)，則B為右零帶.定理證畢.

［1］ CLIFFORD A H，PRESTON G B.The algebraic theory of semigoups［M］.Rhode Island：Mathematical Surveys of the A-merican Mathematical Society，No7 Providence，R I，1961.

［2］ PETRICH M，REILLY N.Completely Regular Semigroups［M］.New York：John Wiley＆Sons Inc，1999.

［3］ HOWIE JM.Fundamental of Semigruop Theory［M］.Oxford：Oxford Clarendon Press，1995.

Some properties of com pletely 0-sim ple sem igroups

CUIJufen，ZHANG Jiangang
(College of Mathematics and Sciences，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China）

We consider the properties of completely 0-simple semigroup S when the sandwichmatrix P and G are Abelian，and generalize the corresponding results for completely simple semigroups.The elements of S are characterized if the subband of S is a left zero band or a right zero band.And then we characterize the inverses of idempotents of S.

completely 0-simple semigroup；completely simple semigroup；sandwichmatrix

O 152.7

A

1000-5137(2013）02-0120-05

（責(zé)任編輯：馮珍珍）

2013-01-12

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目( 11201305，11001046）；上海市教委創(chuàng)新項(xiàng)目(12YZ081）

崔菊芬(1987-），女，上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院碩士研究生；張建剛(1977-），男，上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院副教授.