《點到直線的距離》教學設計與反思

許榮良

（江蘇教育學院運河分院，江蘇 邳州 221300）

解析幾何是17世紀數學發展的重大成果之一，其本質是用代數方法研究圖形的幾何性質，體現了數形結合的重要數學思想，其主要內容是計算和證明，而計算問題則主要是距離和角的計算。其中距離的計算主要包括點、線、面之間距離的計算，而點到直線的距離處在關鍵的位置上。

一、教材分析

本課內容選自高中數學蘇教版必修2第二章第一節，這一節是研究平面元素的位置關系，由定性研究到定量研究的第二節課。它是解決點線、線線距離的基礎，也是研究直線與圓、圓與圓位置關系的重要工具，同時為后面學習圓錐曲線作準備。教材試圖讓學生經歷探索點到直線距離公式并論證這個公式的過程，深刻領會蘊涵于其中的數學思想和方法，如數形結合、算法、函數等；并讓學生享受作為學習主體進行探究、發現和創造的樂趣。

教材中以算法語言的形式給出了兩種推導點到直線的距離公式的方法，尤其是第二種方法是通過構造形解決數的問題，然后再把形代數化，這一正一逆，使數與形達到了完美的結合，其蘊含的重要思想，需要學生細細體會。

二、教學目標

針對咱們師范學校學生的特點，結合本教材，本著低起點、高要求、循序漸進，充分調動學生學習積極性的原則，我制定了以下教學目標：

1、掌握點到直線的距離公式，并能運用它解決一些簡單問題；

2、通過運用面積法推導點到直線的距離公式的推導過程，使學生進一步了解數學結合思想在解決具體問題中的重要作用；

3、讓學生經歷自主探究，合作交流的過程，充分感受點到直線的距離公式的推導過程；同時通過此過程，滲透算法、化歸等思想，培養學生勇于探索、勇于創新的精神。

三、教學重點、難點

教學重點：點到直線的距離公式的推導思路以及其簡單的應用作為本節課的教學重點。

教學難點：點到直線的距離公式的推導思路。

四、教法、學法

類比探究式教學模式。即：從學生熟知的實際生活背景出發，通過由特殊到一般、從具體到抽象的課堂教學方式，引導學生探索點到直線的距離的求法。讓學生在合作交流、共同探討的氛圍中，認識公式的推導過程及知識的運用，進一步提高學生幾何問題代數化的數學思維能力。

五、教學過程設計

四環節教學法。

即：

（一）創設情境 設趣激疑

如圖1,在鐵路的附近,有一大型倉庫.現要修建一條公路與之連接起來.那么怎樣設計能使公路最短？最短路程又是多少？

圖1

注：首先從一個具體的實際問題入手，引導學生將其轉化為解析幾何問題，建立坐標系，由此引出本節課題，同時激發學生學習興趣，培養學生簡單的數學建模能力。

（二）合作探究 深化認識

點到直線的距離公式的推導過程 如圖2。

問題1求P(2,0)點到直線x-y=0的距離；

問題2如何求P(4,2)點到直線4x-3y+2=0的距離。

問題3如何求點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0(其中A2+B2=0)的距離。

圖2

這個環節的教學需要通過三個具體的問題實現的。而這三個問題是由特殊到一般、從具體到抽象的過程，符合學生的認知規律。

第一個問題雖然簡單，但是是后面兩個問題的基礎。通過平均3到4位同學一組放手讓學生討論解決這個問題的方法，在學生討論的過程中，適時的引導學生從不同的角度分析問題，進而尋求到不同的方法。

結合學生現有的知識水平，他們可能會想到的方法不外乎會有以下幾種（圖3）：

（1）兩點間的距離公式；

圖3

當然，也可能會有同學采用以下這兩種方法：

（4）解三角形；

（5）函數的思想：點到直線距離的最小值問題.

注：由于這個問題比較簡單，可以通過讓學生結合找到的方法解決這個問題并相互驗證方法的正確性，體驗成功的喜悅。

在解決了問題一的基礎上，引導學生尋找問題二的解決辦法，這一過程，最重要的是將其劃歸為第一個問題的解決辦法：即過點P向X軸和Y軸作垂線構造直角三角形，進而引導學生發現第一個問題的解決方法依然適用于問題二。

有了以上兩個問題的解決作為鋪墊，第三個問題的解決就順理成章。

雖然在前面兩個問題的解決中并沒有要求學生說出詳細的思路，但是經過兩次針對性的訓練，學生心里應該有一個大概的思路，因此該問題的解決可分成以下三個層次進行：

層次一：學生說一說面積法推導點到直線的距離公式的思路；

層次二：師生共同用算法框圖的形式把思路寫出來；

層次三:師生合作推導點到直線的距離公式的詳細過程。

最終推導得出點到直線的距離公式：

點 P（x0,y0）到直線 Ax+By+C=0（其中 A2+B2=0）的距離為：

（三）應用舉例 鞏固提高

為了能夠讓學生迅速的掌握點到直線的距離公式，可以通過以下三個具體的例子及相關練習進行針對性的訓練。

例1.求下列點到直線的距離：

（1）A（－2，3）l:3x＋4y＋3＝0；

（2）B（1，-2）l:4x＋3y＝0；

（3）D（2，-1）l:2y=3

思考：

①當A＝0或B＝0時，怎樣求點到直線的距離？

②當A＝0或B＝0時，點到直線的距離公式是否依然成立？

注：第一個例子是公式的簡單應用問題，學生應該能夠很輕松的解決，同時在學生完成第一個例子的基礎上給出一個思考題，學生通過畫圖也應該能夠解決。

例 2.(1)已知點 A（－2，3）到直線 y＝ax＋1 的距離為 1，求的值；

（2）已知點 A（－2，3）到直線 y＝－x＋a 的距離為 1，求的值.例3.如圖，試求平行四邊形ABCD的面積（圖4）.

圖4

注：而第二個例子則是公式的逆向運用問題，需要提醒學生注意多解的情況。那么第三個例子有以下幾個目的：第一個目的是公式的簡單應用，第二個目的則是讓學生發現選擇不同的點平行四邊形的高不變，第三個目的則是為平行直線間的距離作鋪墊。

（四）歸納總結 拓展延伸

課堂小結：

（1）點到直線的距離公式；

（2）面積法的算法框圖；

（3）面積法推導點到直線的距離公式的過程：

注：在歸納小結中，此時應該重點強調數形結合思想在本節課的充分體現。

拓展延伸：

1.求下列點到直線的距離：

（1）P（3，-2）l：3x＋4y－25＝0；

（2）P（－2，1）l：3y＋5＝0；

2.若點P在直線x＋y－4＝0上，O是原點，求OP的最小值.

3.在直線x＋2y＝0上求一點P，使它到原點的距離與到直線 x＋2y－3＝0 的距離相等.

六、教學反思

1.對于本節內容，有兩種不同的處理方式：一種是讓學生理解、記憶公式，直接應用而不講公式的探尋過程，這樣的處理不利于學生數學思維能力的培養；二是本課方式，通過強調對公式的探索過程，提高學生利用代數方法處理幾何問題的能力；

2.在公式的推導過程中，含有字母運算，比較抽象.如果沒有整體算法步驟的分析，學生的思路會缺乏連貫性，所以本課重點分析了推導公式的算法思想，讓學生在明了算法步驟的前提下，再進行有效的公式推導和自學閱讀；

3.學生在練習中的“錯誤體驗”將會有助于加深記憶，所以我重視在學生應用公式中容易忽略的環節,并在補充的例題中給予了設置，以期達到強化訓練的目的。