基于改進Gauss偽譜法的探月返回器跳躍式再入軌跡優化設計*

郭敏文 王大軼

1. 北京控制工程研究所,北京 100190 2. 空間智能控制技術重點實驗室,北京 100190

探月返回器將以接近第二宇宙速度高速再入地球大氣層。返回器再入的過程考慮為配平攻角飛行，即忽略了攻角和側滑角的控制，僅僅通過調整傾側角來控制飛行軌跡。要實現大航程、強約束的再入飛行，對小升阻比探月返回器的制導控制提出了全新的要求。

再入制導算法主要分為2類[1]：標準軌道法和預測校正法[2]，本文主要研究標準軌道法的參考軌跡優化設計。從六七十年代至今，不少學者針對跳躍式再入軌跡設計問題提出了解析方法，這些方法主要可分為2類，一類主要用匹配漸近展開方法描述跳躍式再入軌跡。其中，Kuo和Vinh[3]利用改進的匹配漸近展開方法得到跳躍式再入軌跡的較高精度的二階近似表達式，Kluever[4]則基于該方法解析得到跳躍式再入參考軌跡，并分段給出了跟蹤參考軌跡的傾側角指令。另一類為參考軌跡阻力剖面的設計方法。Garcia-Llama[5]將跳躍式再入軌跡第一次再入段(初始再入點到跳出點)的阻力剖面設計為四階多項式，并應用反饋線性化方法跟蹤其設計的阻力剖面。其阻力剖面的設計求解思想有別于文獻[6]將再入軌跡阻力剖面設計為二次函數的做法。

近年來，許多學者針對軌跡規劃問題提出了多種數值解法，且取得了重要進展。這些方法主要可分為：直接法[7]和間接法[8-9]。間接法將最優控制問題最終轉化為兩點邊值問題，該問題求解過程對協態變量的初值高度敏感，收斂性差，同時軌跡規劃過程中存在的各種約束使其求解過程變得較為復雜。相對于間接法，直接法在收斂的魯棒性和解決實際問題的適用性上更具有優勢。最近發展起來的一種求解最優控制問題的改進Gauss偽譜方法[10]是一種基于全局和局部插值多項式混合的直接配點法，其優點在于可用盡量少的節點獲得較高的擬合精度。

應該指出，軌跡優化的理論已經比較成熟，但因跳躍式再入軌跡的優化設計有其新的特點，如強約束、多約束等，有必要對這方面進行深入地研究。目前該研究方向的文獻相對較少。南英[11]對單次再入飛行、二次再入軌跡、多次再入軌跡在過載和熱流方面進行了比較研究，并得出二次再入飛行為最優返回軌跡的結論。針對跳躍式軌跡的優化設計，Istratie[12]也提出了使多種不同性能指標最小的優化方案，但均未給出完整的最優跳躍式再入軌跡，只是針對第一次再入段的飛行軌跡進行了優化設計。

為滿足過載和熱流等過程量的約束條件，本文利用改進的Gauss偽譜方法[10]對完整的跳躍式再入軌跡進行優化設計。利用該方法計算比較了返回器在各相同初始再入條件下不發生跳躍和發生跳躍時的最遠飛行距離，并對返回器在不發生跳躍時的飛行能力進行了分析。最后通過仿真表明該方法能很好地實現小升力體月球返回的跳躍式再入軌跡優化，有效滿足過載及駐點熱流的約束，并分析得出對于小升阻比返回器，當再入航程要求大于3500km時，需采用跳躍式軌跡再入的結論。

1 探月返回器跳躍式再入軌跡優化問題描述

1.1 再入動力學方程

整個飛行過程如圖1所示，圖中r0和rf分別為初始和末端時刻的地心距。假設探月返回器處于配平飛行狀態，且地球是一個均勻球體，不考慮地球扁率、地球公轉及地球自轉，大氣模型采用美國1976年標準大氣模型，返回器再入的無量綱質心動力學方程[1]為

(1)

圖1 探月返回器跳躍式再入軌跡示意圖

1.2 約束條件

因探月返回器高速再入的特點，過載和熱流約束變得十分苛刻。為了保證再入過程的安全，需要嚴格滿足以下約束條件：

(1)氣動加熱約束

為減小氣動加熱，要求駐點熱流不超過給定的最大值，即

(2)

(2)過載約束

為了減小再入時的過載，要求瞬時過載小于最大允許過載，即

(3)

其中nmax為最大允許過載值。

(3)終端狀態約束

考慮經度、緯度、高度滿足終端約束條件：

(4)

(4)控制量約束

考慮到實際傾側角機動不可能瞬時完成，需要對傾側角進行限幅，即：

|σ|≤σmax

(5)

1.3 目標函數

在高速再入過程中，為了減小防熱系統的重量，性能指標一般取為再入過程的熱流最小：

(6)

2 跳躍式軌跡航程分析

(1)跳躍式軌跡擴大航程能力分析

當地球自轉和正對著陸點的航向偏移量可以忽略時，相對著陸點的航程變量s可以由下式得到：

(7)

將式(7)增加為系統描述的第7個方程，即將縱程s考慮為一個新的變量x7，其中rf為再入開傘點的高度。

由狀態方程(1)和(7)可看出，其中狀態變量r，v，γ和變量s的變化規律與另3項狀態變量解耦，這里通過單獨分析這4個量的運動規律，優化計算各不同初始再入角情況下發生跳躍和不發生跳躍時的最大航程，以對跳躍式再入軌跡在實現長縱程飛行方面的優勢進行比較分析。因此優化性能指標取為新變量x7的末狀態量，即

J=-x7f

(8)

這里，發生跳躍和不發生跳躍時的狀態約束如下，其中不發生跳躍的飛行路徑角保持小于0，即無上升飛行階段，軌跡不發生跳躍。

發生跳躍：

狀態量r和γ在整個飛行過程中被約束為：

-90°≤γ≤10°

rf≤r≤r0

不發生跳躍：

狀態量r和γ在整個飛行過程中被約束為：

-90°≤γ≤0°

rf≤r≤r0

(2)不發生跳躍時飛行能力分析

這里通過考慮升阻比偏差及大氣密度偏差對再入過程的影響，得到不同情況下返回器不發生跳躍時的最大航程和過載峰值，并對這些表征其飛行能力的數據進行分析，以得到需采用跳躍式軌跡再入的航程要求。

氣動系數偏差采用如下表達式

(9)

由于高層大氣變化極為復雜，從人造地球衛星上天以來，各國學者一直致力于開發高精度的標準大氣模型及其擾動模型，采用了多個指標(考慮經緯度、季風、大氣成分以及太陽活動等多種因素的影響)來描述大氣的擾動。期間，形成了諸多不同的大氣攝動模型，簡單的有固定值偏差模型，復雜的如美國開發的GRAM(Global Reference Atmosphere Model)模型。

本文取大氣攝動模型為固定值偏差模型來分析不發生跳躍時再入軌跡的最大航程，其變化范圍取為[-30%, +30%]。

3 Gauss 偽譜法基本原理

高斯偽譜法將再入動力學微分方程轉化為代數約束方程，將制導問題轉化為不需要積分彈道的最優規劃問題。偽譜方法的一個顯著特征為譜收斂，即收斂速度大于N-m，其中N是配點個數，m是任意有限數值。

偽譜法的求解步驟：

1)不失一般性，將最優控制問題轉化為Bolza形式，即最小性能指標函數：

(10)

滿足動力學約束、等式邊值條件約束、不等式路徑約束如下：

(11)

這里t和τ之間的映射關系為：

(12)

2)基于Gauss偽譜方法的Bolza問題離散化

(13)

(14)

(15)

對狀態變量表達式進行微分得到，

(16)

(17)

其中k=1,…,N;i=0,…,N。從而動力學微分方程約束轉化為如下的代數約束：

(18)

其中Xk≡X(τk)∈Rn，Uk≡U(τk)∈Rm。離散化后的動力學方程約束只在LG點被滿足，而離散狀態初值為X0=X(-1)，末端時刻狀態值可通過Gauss積分近似得到

同樣，性能指標也可通過高斯積分近似得到

(20)

其中wk為高斯權值。同時將式(11)中的邊值約束以及路徑約束分別離散為

以上性能指標函數(20)及代數約束方程(18),(19)和(21)定義了一個非線性規劃問題，該問題的求解過程詳見參考文獻[13]，其解就是上述連續Bolza問題的近似解。

4 改進算法

以上所描述的Gauss偽譜法是全局配點法，若要提高擬合精度，則需要增加擬合多項式的階次。然而隨著多項式階次的增加，配點數也相應增加，這使得收斂速度減慢，非線性規劃問題的計算變得難以處理。

這里采用改進的Gauss偽譜法，將全局配點法和局部配點法混合使用來提高擬合精度，即并不只是一味地提高擬合多項式的階次，而是考慮將軌跡分成S個小段，然后分別對各小段選擇合適階次的多項式進行擬合。每段編號設為s∈[1,…,S]，假定第s小段用Ns階的多項式進行擬合，其狀態擬合多項式Xs(τ)如式(13)所示。為達到提高擬合精度的目的，有2個方法可以考慮：將每一特定小段再繼續分段，或者增加該段擬合多項式的階次。而算法的關鍵在于如何對2種策略折衷選擇。

算法的基本思路描述如下：

(22)

(23)

則認為小段s擬合偏差一致，此時通過增加該小段多項式階次Ns來提高擬合精度；否則，如果存在任何一個局部偏差最大點不滿足不等式(23)的約束，則將s小段在該點處進行分段。這里，λ值的選取體現了局部和全局配點策略的一個權衡。當λ值較小時，局部偏差最大點與偏差均值的比值則較易超過λ值而在某點處再進行分段；當λ值較大時，算法類似采用了全局配點方法。本文仿真時采用文獻[9]中所提到的GPOPS優化軟件，其具體分段數取決于擬合精度及λ值的大小，λ值一般取為3.5。

當確定某一特定段內偏差一致時，需要采用增加擬合多項式階次的策略。假設前2次配點數分別為Nk-1，Nk，且擬合誤差為ο(10-mk-1)，ο(10-mk)，而允許誤差為ο(ε)。假定mk>mk-1，則估計應增加的配點數為Nk+1

(24)

該算法能自適應地更新軌跡的分段數和各段擬合的配點數，從而在設計盡量少的配點數的情況下，達到需要的擬合精度。

5 仿真分析

本文以探月返回器為仿真對象，質量9500kg，最大橫截面積23.8m2。

5.1 跳躍式再入軌跡優化

具體仿真參數設置見表1，控制量σ約束在[-70°, 70°]之間變化，升阻比0.35，升力系數CL為0.44，阻力系數CD為1.25。軌跡狀態量、過載、熱流和控制量變化曲線如圖2～5所示。由圖3和4可見，設計的再入軌跡滿足過載和熱流約束。

表1 初末狀態設置和過程約束

圖2 狀態量變化軌跡

圖3 過載變化軌跡

圖4 駐點熱流變化軌跡

圖5 控制變量變化軌跡

5.2 跳躍式再入軌跡航程仿真分析

根據文獻[14]的再入走廊分析結果，這里在[-6.4°, -5.4°]之間均勻選擇6個初始再入角值進行仿真，分別得到發生跳躍和不發生跳躍情況下的最大航程，見表2。為了清晰比對，這里給出了初始再入角為-6.0°時發生跳躍和不發生跳躍2種情況下的再入軌跡比較，如圖6所示。同時給出了初始再入角分別為-5.6°，-6.0°，-6.4°時，跳躍高度h為120km的飛行情況比較，如圖7所示，可知再入角越大(再入角絕對值)，飛行的最大距離越小，且過載峰值越大。

由表2中數據可見，再入軌跡在不發生跳躍時的最大航程僅有3000多公里，由圖6中的曲線對比發現當跳躍高度為120km時再入軌跡最大航程遠遠大于不發生跳躍時的最大再入航程。為得出長距離飛行是否必須采用跳躍式再入的結論，下面進一步仿真分析在不同升阻比和存在不同程度大氣密度偏差時不發生跳躍的最大再入航程。

表2 兩種情況下最大航程比較

圖6 初始再入角為-6.0°時飛行情況比較

圖7 跳躍高度為120km各不同再入角時飛行情況比較

利用Gauss偽譜法計算得到不同升阻比、不同初始再入角情況下的最大航程和過載峰值，并將數據繪制曲線如圖8和9所示。由于航程隨著再入角的減小而增大，這里選擇再入角為-5.6°，仿真得到不同升阻比和不同大氣密度下的最大航程和過載峰值，并將數據繪制曲線如圖10和11所示。

由圖8～11可看出：再入飛行的最大航程，隨著初始再入角的增大而減小，隨著升阻比的增大而增加，隨著大氣密度的變大而減小；過載峰值則隨著初始再入角的增大而增大，隨著密度的增加，減小較快。而過載峰值與升阻比之間的關系與初始再入角的大小有關：當初始再入角較大時，隨著升阻比的增大，過載峰值減小較快；當初始再入角較小時，過載峰值反而隨著升阻比的增大而緩慢增大。

綜上可以得到最后結論，不發生跳躍的再入軌跡的最大航程不會超過3500km，則當再入航程要求大于3500km時需采用跳躍式軌跡再入。

圖8 最大航程隨升阻比和再入角變化情況

圖9 過載峰值隨升阻比和再入角變化情況

圖10 最大航程隨大氣密度和升阻比變化情況

圖11 過載峰值隨大氣密度和升阻比變化情況

6 結論

本文首先基于改進的Gauss偽譜法對探月返回器高速再入任務進行了軌跡優化設計，得到了滿足過載和熱流等強約束且總吸熱量最小的跳躍式再入軌跡。然后利用該方法優化計算了在不同升阻比和存在不同程度大氣密度偏差的情況下，再入過程發生跳躍和不發生跳躍時的最大航程及過載峰值。通過比較可知，跳躍式再入軌跡能在較大程度上擴大小升力體再入航程，并得出結論：當再入航程要求大于約3500km時，需要采用跳躍式軌跡再入。

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