意味深長的問題倒不一定難

談祥柏

我家住在19樓，相當高，電梯又經常出故障，幸好我腳力很好，可以一口氣走上走下，并不感到吃力。從此以后，19這個數字就同我結下了不解之緣。

下面就來說一個由于我住在19樓而特別對19這個數字“刮目相看”的趣題。

在圖中所示的方框里分別填入從2到19的18個自然數，既不能重復，也不準遺漏，要求任何兩個相鄰數字之和均為平方數。

凡是初次接觸到本題的人都不免倒吸一口冷氣，即使不公開表態，心里也不免發憷，認為題目的要求未免太高了，恐怕很難做出來。

解題者信心不足，有打退堂鼓的意思，這也在情理之中，并不奇怪。

近年來，解題方法的研究蔚然成風，這是一個很好的開始。拿本題來說，找到最小的自然數2，自然可以將它作為一個著力點。由于2+7=9，2+14=16，而9與16又都是平方數，因而可以建立起一個初步的關系鏈：

下一步是順藤摸瓜，對于最左端的7來說，可以同它連接的數只可能有兩個，即9和18（7+9=16，7+18=25，16和25都是平方數），從而得出了這個擴充之后的關系鏈：

另外，還容易看出，在9的左端，尚可添加一個符合條件的自然數16（9+16=25），此時，關系鏈進一步擴充為這樣的形狀：

但此時，左面已經發展到了山窮水盡的地步，我們只好轉變方針，到右面去繼續作戰。

真是天公作美，右方戰線的發展竟是出乎意料地順利，遠非始料所及。一步一個腳印，很快就形成了一條滿足題目要求的長鏈：

“船到橋頭自然直”，題目基本上做完了。由于“一字長蛇陣”的形狀比較難看，數學史上有過一個很著名的“哥尼斯堡七橋”問題，經過瑞士大數學家歐拉的研究，通過拓撲變換之后，可以變成“一筆畫”問題來研究。在這里，我們也可以采用“拓撲變換”的手段，將它改造成以下的圖形：

此題覆蓋了從2到19的所有18個自然數，不重不漏，一網打盡，可是涉及的平方數搞來搞去卻只有4個：9、16、25、36，而且頭尾兩個數用得也不多，翻來覆去，大顯身手的只有16和25，難怪此題解出之后，許多人都夸它意味深長，無法復制。