基于ESO的軌跡線性化控制方法及應(yīng)用

鐘友武 張義捷 吳建武

北京航天自動控制研究所,北京 100854

采用先進氣動布局的現(xiàn)代飛行器飛行包線大，機動性強，呈現(xiàn)出非線性、強耦合、時變不確定的氣動特性，因此需要研究對建模誤差、參數(shù)攝動和干擾具有魯棒性的非線性控制新方法。

軌跡線性化控制(Trajectory Linearization Control, TLC)方法是美國俄亥俄大學(xué)的Jim J. Zhu教授在微分代數(shù)譜理論基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種新型非線性控制方法[1-4]。該方法可視為理想的增益調(diào)參方法，物理意義明確，在飛行器和機器人等對象上獲得了廣泛的應(yīng)用[5-7]。

軌跡線性化控制方法在面對存在嚴重不確定性和外部擾動的非線性系統(tǒng)時，仍存在一定的局限性，控制性能會顯著降低甚至失效[8]。針對模型不確定性和外部干擾，在控制系統(tǒng)設(shè)計時往往將其歸結(jié)為總擾動。擴張狀態(tài)觀測器能同時估計系統(tǒng)的狀態(tài)和干擾，計算簡單。本文將擴張狀態(tài)觀測器和軌跡線性化控制方法相結(jié)合，建立基于干擾補償?shù)能壽E線性化控制新策略，并應(yīng)用于某先進布局飛行器的飛行控制系統(tǒng)設(shè)計。

1 基于ESO的軌跡線性化控制

如圖1所示，基于ESO的軌跡線性化控制系統(tǒng)設(shè)計包括3個部分：對非線性標稱系統(tǒng)求偽逆；利用PD譜配置方法[1-4]對誤差LTV系統(tǒng)設(shè)計線性時變控制器；設(shè)計ESO估計系統(tǒng)干擾以構(gòu)成補償信號。

圖1 基于ESO的軌跡線性化控制結(jié)構(gòu)框圖

不失一般性，設(shè)非線性不確定系統(tǒng)為

y(t)=x(t)

(1)

式中，x，u和y分別為非線性系統(tǒng)的狀態(tài)、控制輸入和輸出，u∈Rm;d∈Rn；f(x)與g(x)≠0為光滑有界向量場；d為建模誤差、外界干擾和系統(tǒng)故障的不確定因素構(gòu)成的總和，即總擾動。

1.1 偽逆

(2)

系統(tǒng)的標稱輸入(偽逆)為

(3)

定義狀態(tài)和輸入誤差

則誤差的非線性動態(tài)方程為

(4)

將誤差系統(tǒng)沿標稱軌跡線性化，獲得誤差時變線性系統(tǒng)

(5)

如果A(t)一致有界且在平衡點的鄰域內(nèi)是Lipschitz的，若能設(shè)計時變線性反饋控制律使得系統(tǒng)在平衡點指數(shù)穩(wěn)定，則原非線性系統(tǒng)的狀態(tài)沿標稱狀態(tài)軌跡局部指數(shù)穩(wěn)定[9]。

1.2 線性時變控制器

若誤差系統(tǒng)式(5)一致完全可控，則采用Silverman-Wolovich矩陣[1]，進行如下變換：

(6)

誤差系統(tǒng)式(5)可轉(zhuǎn)化為如下可控標準型

(7)

式中

Az(t)=L-1(t)(A(t)L(t)-L(t))=

采用狀態(tài)反饋的形式設(shè)計時變線性控制器

(8)

可得誤差閉環(huán)系統(tǒng)

(9)

設(shè)期望的閉環(huán)系統(tǒng)為

Azc(t)=

(10)

(11)

Vn+1(ρ1,ρ2,…,ρn,ρ)=

式中，-Dα為標量多項式微分算子(Scalar Polynomial Differential Operator, SPDO)：

-Dα=δn+αn(t)δn-1+…+α2(t)δ+α1(t),δ=d/dt

Kz(t)=[kz1,kz2,…,kzn]=

[α1,α2,…,αn]-[β1,β2,…,βn]

(12)

最后，通過坐標逆變換即可獲得線性時變控制律

K(t)=Kz(t)L-1(t)

(13)

(14)

1.3 干擾補償

yi=xi

(15)

yi=xi1

(16)

設(shè)計ESO

(17)

h2(ei1,ei2)=ei2-βi1ei1+kg1(ei1)sign(ei1)，

c>1,k>1

(18)

則存在包含原點的閉區(qū)域

使誤差軌線具有如下性質(zhì)：

1)軌線將于有限時間到達區(qū)域G0∪G2的邊界，并被約束在其內(nèi)部(區(qū)域G2={(ei1,ei2)||ei2-β1fe1(ei1)+kg1(ei1)sign(ei1)|≤g1(ei1)})；

2)軌線將于有限時間到達區(qū)域G0的邊界，并被約束在其內(nèi)部。

定理1改進了文獻[11]中ESO的收斂條件。假設(shè)g(·)非奇異，則可設(shè)計補償控制律

(19)

因此，基于ESO的軌跡線性化控制律為

(20)

(21)

?t0≤t≤t1

(22)

且對有限時刻t1，有

(23)

定理1和2的證明見文獻[12]。c1與c2和PD譜的配置直接相關(guān)，可通過選取適當?shù)腜D譜配置和ESO參數(shù)，保證穩(wěn)態(tài)誤差在可接受的范圍。

2 飛行控制律設(shè)計

令χ=[α,β,φV]T為飛行器的氣流角(攻角、側(cè)滑角和速度軸滾轉(zhuǎn)角)；ω=[ωx,ωy,ωz]T為轉(zhuǎn)動角速度，則氣流角非線性微分方程為

(24)

飛行器繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動微分方程為

(25)

式中，di為系統(tǒng)擾動，M為飛機合外力矩，且

c4=(Ix-Iy)/Iz，c5=Ixy/Iz，c6=Ix/Δ，c7=Iy/Δ，c8=Ixy/Δ，c9=1/Iz。

控制器分為內(nèi)、外2個回路，外回路根據(jù)氣流角指令產(chǎn)生角速度指令，內(nèi)回路生成力矩指令，每個回路的控制律均采用基于擴張狀態(tài)觀測器的軌跡線性化控制方法進行設(shè)計。

2.1 外回路控制律

對式(24)求逆，可得轉(zhuǎn)動角速度標稱指令

(26)

氣流角期望模型及其導(dǎo)數(shù)可通過式(27)獲得

(27)

式中，kα，kβ，kγs根據(jù)期望動態(tài)特性確定，下標“c”表示指令，下標“m”表示期望模型信號，上標“～”表示誤差。

設(shè)計時變PI控制器獲得外回路鎮(zhèn)定信號：

(28)

式中，KPo(t)和KIo(t)分別為時變比例、積分增益陣

KPo(t)=-B-1(t)[D2o(t)-A(t)]

KIo(t)=-B-1(t)D1o(t)

D1o(t)=diag(-ε11o(t),-ε12o(t),-ε13o(t))

D2o(t)=diag(-ε21o(t),-ε22o(t),-ε23o(t))

式中，εijo(t)(i=1,2;j=1,2,3)為時變參數(shù)，由配置的閉環(huán)系統(tǒng)PD譜確定。設(shè)

式中，ζjo和ωjo(t)(j=1,2,3)分別為外回路各通道誤差系統(tǒng)的期望時變阻尼比和固定頻率，為使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，ζjo>0,ωjo(t)>0(?t>0)，則

設(shè)ax，ay和az分別為機體軸系下飛機三軸質(zhì)心加速度，則氣流系下三軸合外力為

采用該方式進行飛機合外力的估計并不準確，對于估計誤差和外部擾動，通過設(shè)計ESO的構(gòu)造補償信號，引入“偽控制量”U(t)=g(x)ωc，設(shè)計ESO

(29)

由定理1可知，通過設(shè)計合適的參數(shù)陣β1，β2，可使z1→γ，z2→Ξ=dO。假設(shè)g(·)非奇異，可設(shè)計補償控制律

ωad=g-1z2

(30)

外回路控制律為

(31)

2.2 內(nèi)回路控制律

采用同樣的設(shè)計方法，控制器最終給出三軸力矩指令

(32)

內(nèi)回路標稱指令

(33)

式中，Ix，Iy，Iz，Ixy分別為各軸轉(zhuǎn)動慣量和慣性積。

內(nèi)回路鎮(zhèn)定信號

(34)

KPi(t)=

σ4=-Ixyωxm+(Iy-Iz)ωym

σ5=-(Ix-Iz)ωxm+Ixyωym

式中，εiji(i=1,2;j=1,2,3)。由PD譜配置確定

補償控制律為

(35)

2.3 控制分配

力矩指令通過控制分配獲得舵面指令來實現(xiàn)，控制分配可描述為

(36)

式中，J為優(yōu)化指標，a為各操縱面權(quán)值，通常與飛行任務(wù)和狀態(tài)有關(guān)；δ=[δ1,δ2,δ3,…,δm]T為對象的m個控制量，偏轉(zhuǎn)角度和速率都受物理約束，約束集為Ω；B∈Rn×m稱為控制效率矩陣，各列分別代表各控制機構(gòu)的控制效率，一般有m≥3，即控制機構(gòu)數(shù)量大于3，因此，通過式(36)將控制分配問題轉(zhuǎn)化為一個多約束優(yōu)化問題的求解。本文采用基排序最優(yōu)控制分配方法進行求解[13-14]。

3 仿真算例

以某型翼身融合面對稱飛行器為背景進行仿真驗證。該飛行器含有5組新型操縱面：俯仰襟翼(PF),左、右前緣襟翼(LEF),左、右升降副翼(TEF),左、右全動翼尖(AMT)和左、右嵌入面(SSD)。仿真初始高度10km，馬赫數(shù)1.2，仿真步長為0.01s。

設(shè)飛行器的氣動數(shù)據(jù)相對于準確值存在±30%的偏差，在下限和上限狀態(tài)下的仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。在下限和上限狀態(tài)下控制系統(tǒng)均能實現(xiàn)對指令的良好跟蹤，各通道耦合很小。

圖2 下限狀態(tài)系統(tǒng)響應(yīng)曲線

圖3 下限狀態(tài)操縱面指令曲線

圖4 上限狀態(tài)系統(tǒng)響應(yīng)曲線

圖5 上限狀態(tài)操縱面指令曲線

4 結(jié)論

針對先進氣動布局的現(xiàn)代飛行器飛行包線大，機動性強，呈現(xiàn)嚴重的非線性和強耦合，存在較大的建模誤差等不確定性的特點，提出了一種具有較強魯棒性的非線性控制方法，即基于ESO的軌跡線性化控制方法，并將該方法應(yīng)用于飛行控制律的設(shè)計，最后通過數(shù)值仿真驗證了該方法的有效性。

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