基于相位相關的圖像匹配算法研究

胡 海，羅桂娥

（中南大學 信息科學與工程學院，湖南 長沙 410083）

圖像匹配是評價兩幅或多幅圖像的相似性以確定同名點的過程。圖像匹配算法就是設法建立兩幅圖像之間的對應關系，確定相應幾何變換參數，對兩幅圖像中的一幅進行幾何變換的方法。圖像匹配是圖像分析和處理過程中的基本問題。它在航空影像自動制圖、圖像三維重構、計算機視覺、遙感融合、模式識別、醫學圖像處理、影像分析等領域都有十分重要的應用。目前圖像匹配算法分為基于圖像特征和基于圖像灰度兩大類。在諸多現有的圖像匹配算法中，基于相位相關的方法以其計算量小、抗噪聲等優點得到廣泛關注。

本文提出的基于相位相關的模板匹配方法不但有很高的匹配精度而且能精確地測量出相對圖像對之間的相對平移量，但它對旋轉變換很敏感。為了能夠準確實現圖像匹配，本文結合Fourier-Mellin變換求取圖像的旋轉量，并對圖像進行匹配[1-5]。

1 Fourier變換位移理論

基于頻域傅里葉變換相位相關法描述如下：

f1（x，y），f2（x，y）是定義在空間 R2的兩幅圖像，假定f1（x，y）是參考圖像，圖像 f2（x，y）是 f1（x，y）平移（x0，y0）后的觀測圖像，兩者之間的關系可表示為：

根據傅里葉變換的性質有：

則兩幅圖像的互功率譜為：

由該函數的中心位置可確定兩幅圖像之間的平移量。

2 Fourier-Mellin變換理論

匹配的兩幅圖像 s（x，y）和 r（x，y），其中 s（x，y）是r（x，y）經過平移、旋轉和一致尺度縮放（即兩個方向的尺度變換因子相等）變換后的圖像，即：

那么 s（x，y）和 r（x，y）對應 的 Fourier 變 換 S（u，v）和 R（u，v）之間滿足：

其中，｜·｜表示頻譜幅度。 從式（6）可看出，旋轉角度 α 和縮放因子σ可以與平移量x0和y0進行分離計算。頻譜幅度僅與旋轉角α和縮放因子σ有關，而與平移量（x0，y0）無關，因此，可以通過圖像幅度譜求出旋轉角度α和縮放因子σ。令：

其中 rp和 sp分別是 r和 s在極坐標系 （θ，ρ） 中的幅度譜。那么很容易得出：

其中 λ＝logρ，κ＝logσ。

可以看出，通過上述變換，式（10）變換為與式（1）相同的形式，這樣就可以在對數-極（Log-Polar）空間應用Fourier變換位移理論，按照式（1）～（4），求得 α 和 κ。

如果對數的底取為e，則

這樣就求出了旋轉角度α和比例因子σ。根據求出的 α 和 σ 對圖像 s（x，y）進行反變換得到圖像 s1（x，y），然后通過式（1）～（4）在圖像空間計算出 s1（x，y）和 r（x，y）之間的平移量 x0和 y0。

式（11）被稱為 Fourier-Mellin變換。

3 模板匹配理論

模板匹配是圖像配準中最常用的方法，其基本思想是在觀測圖像中定義一個模板A之后，在參考圖像中搜索與之匹配程度最高的模板B，然后根據這兩個模板之間的平移關系確定出這兩幅圖像之間的配準參數。

本文采用式（12）來衡量模板 T（m，n）與所覆蓋的子圖 Si，j（i，j）的關系及兩幅子圖 Si，j（i，j）的相似性：

如果展開式（12），則有：

式（13）中第一項為子圖的能量，第三項為模板的能量，都和模板匹配無關。第二項是模板和子圖的互為相關，隨（i，j）而改變。當模板和子圖匹配時，該項有極大值。在將其歸一化后，得到模板匹配的相關系數：

當模板和子圖完全一樣時，相關系數 R（i，j）＝1。 在被搜索圖S中完成全部搜索后，找出R的最大值Rmax（im，jm），其對應的子圖 Sim，jm（i，j）即為匹配目標。

由于要遍歷整幅圖像，因此基于模板匹配的計算量很大，速度也慢。為解決此問題，本文采用的是基于相位相關的模板匹配方法。提供了兩種方法：（1）通過在原始圖像中選取模板，將模板（小圖）與原始圖像（大圖）進行傅里葉卷積變換，從而進行模板匹配，即相位相關模板匹配；（2）在獲取模板后，將模板（小圖）擴充成與原始圖像一樣大小的大圖，然后運用相位相關法，將模板（與原始圖像一樣大）與原始圖像匹配對進行模板匹配，這是在第一種方法上的改進，即改進的相位相關模板匹配。

4 實驗結果與分析

4.1 Fourier變換位移的驗證與分析

首先選取原始圖像，只對該圖像進行人工平移，獲得平移后的圖像；然后通過Fourier變換位移的方法（即相位相關法），獲取兩幅圖像的位移。圖1中（a）和（b）采用的是 hat.bmp圖像，位移預置值為（20，20）。

當然，如果是兩幅圖像，有一部分不同，通過Fourier變換位移的方法，也可以求取兩幅圖像的位移。圖2中（a）和（b）采用的是 tu.bmp 圖像，位移預置值為（0，256）。

實驗結果如表1所示。通過該實驗驗證，相位相關法獲取位移的效果很突出，準確率相當高，精確解的誤差一般只有幾個像素。需要注意的是，采用sobel、canny、robert等算法提取圖像邊緣信息時，將灰度圖像轉化為二值圖像，雖然處理速度加快，但由于邊緣檢測算法的穩定性問題，可能會引起基于輪廓的相位相關算法失效。同時，只有位移變換的相位相關檢測對旋轉非常敏感，在基于Fourier-Mellin變換的圖像匹配實驗中會有所體現。

表1 Fourier變換位移結果

4.2 基于相位相關法的模板匹配實驗

本文對三種模板匹配進行了實驗。

（1）先通過原始圖像選取模板，然后對模板和圖像匹配對進行歸一化相關模板匹配。

（2）在原始圖像中選取模板，將模板（小圖）與原始圖像（大圖）進行傅里葉卷積變換，從而進行模板匹配，即相位相關模板匹配。

（3）在獲取模板后，將模板（小圖）擴充成與原始圖像一樣大小的大圖，然后運用相位相關法，將模板（與原始圖像一樣大小）與原始圖像匹配對進行模板匹配，這是在方法（2）上的改進，即改進的相位相關模板匹配。

實驗結果如表2所示。通過比較，可以看出：在匹配的精度上，三種方法都可以達到要求，但在匹配的速度上，改進的相位相關模板匹配明顯要優于另外兩種方法。歸一化相關模板匹配和相位相關模板匹配采用的是小窗口（即模板）搜索方式，由于要遍歷整幅圖像，因此計算量很大速度也慢。而改進的相位相關模板匹配完全利用了相位相關法的優點，采用大窗口搜索方式，減小了計算量，從而提高了速度。

表2 三種模板匹配結果

4.3 基于Fourier-Mellin變換的圖像匹配實驗

為了求得圖像的旋轉量，本文結合Fourier-Mellin變換進行實驗。圖像匹配結果如表3所示。

表3 Fourier-Mellin變換實驗結果

圖3給出了Fourier-Mellin變換實驗部分結果，其中圖3（a）為 hat.bmp原始圖像，圖3（b）為獲取的頭像部分，并在后續計算中進行（20，20）的位移變換，圖3（c）為頭像部分以圖片中心旋轉 30度，圖3（d）為求取旋轉量后將頭像部分與原始圖像進行的圖像匹配，圖3（e）和圖3（f）為頭像部分進行（100，-150）位移的圖像及位移后的圖像匹配，圖3（g）和圖3（h）為頭像部分進行（-100，-150）位移的圖像及位移后的圖像匹配。實驗時間最短的為2.204 9 s，最長為 2.694 4 s。

實驗結果表明，結合Fourier-Mellin變換，圖像匹配效果在精度上和時間上都比較好。Fourier-Mellin變換方法直接利用圖像的整體頻域特性，是一種基于非特征的圖像配準方法，適用于有旋轉變換的兩幅圖像之間的配準。要注意的是，圖像需在尺度變換的允許值0.9～1.05的范圍內，若超出范圍，則匹配效果就比較差了。

本文提出一種基于相位相關算法的圖像匹配方法。利用相位相關的計算量小、抗噪聲等優點，將它應用于模板匹配，在圖像匹配對平移的計算上可以得到很好的效果。為了解決圖像的旋轉問題，結合Fourier-Mellin變換，進行圖像匹配。實驗結果表明本方法在精度和速度上都能取得比較滿意的效果。

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