平面向量中基本概念常見錯誤剖析

翟愛國

由于平面向量的概念、性質(zhì)、運(yùn)算較多，且易與實數(shù)有關(guān)的性質(zhì)和運(yùn)算混淆，因而造成同學(xué)們對某些基本概念或公式的認(rèn)識較模糊，使同學(xué)們的解題思維走入思維定勢、類比不當(dāng)?shù)日`區(qū)，下面對平面向量基本概念的常見錯誤進(jìn)行分類剖析。

一、忽視零向量的特殊性

例1 a，b是任意向量，給出下列命題：

①若a與b共線，b與c共線，則a與c共線；

②|a|+|b|=|a+b|成立的充要條件是a與b同向共線；

③若a與b共線，則有且僅有一個實數(shù)λ，使a=λb；

④若a∥b，則a與b的方向相同或相反。

上述命題中正確的有____個。

錯解 4。

剖析 對于不重合的三條直線a，b，c，滿足a∥b，b∥c，則a∥c，但在平面向量中卻不一定成立。事實上，若b=0，由于零向量與任意向量都是平行向量，則a與c不一定共線，所以①不正確；

命題②忽略了a或b為零向量的情況，所以②不正確；

命題③中若b=0，任意向量a均與b共線，但不一定有a=λb，所以③不正確；

命題④中，僅僅適合于a與b均為非零向量的情況，所以④不正確。

正解 0。

評注 1.解決這類與平面向量的概念有關(guān)的命題真假的判定問題，其關(guān)鍵在于透徹理解平面向量的概念，以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例說明其正確與否，特別應(yīng)注意零向量的特殊性。

2.在初學(xué)向量時絕對不能把0與0混為一談：0表示長度為0的向量，即|0|=0。它的方向是任意的，規(guī)定0與任意一個向量都平行；而0是一個沒有方向的實數(shù)。下面幾個式子都是錯誤的：（1）a-a=0；（2）a+0=a；（3）0·a=0；（4）|a|-|a|=0。

二、忽視向量共線與直線重合的區(qū)別

例2 已知A（-1，1），B（1，5），C（-2，-5），D（4，7），判斷直線AB與直線CD是否共線？

評注 1.方向相同或相反的非零向量稱為平行向量，特別規(guī)定零向量與任一向量都平行。由于任何一組平行向量都可平移到同一直線上，故平行向量也叫做共線向量，從而可知向量平行與直線平行的區(qū)別：兩個向量平行（也稱共線）包含兩個向量重合，兩條直線平行不包含兩條直線重合。

2.若非零向量b與a共線且它們有公共的點，則它們所在的直線重合。

三、忽視向量運(yùn)算與實數(shù)運(yùn)算的差異

例3 下列5個命題：

①若a≠0，則對于任意的非零向量b，有a·b≠0；

②若a≠0，且a·b=a·c，必有b=c；

③（a·b）·c=a·（b·c），對于任意向量a，b，c都成立；

④若a，b滿足|a|>|b|且a，b同向，則a>b。

其中正確命題的有____個。

錯解 4。

剖析 在實數(shù)運(yùn)算中，若a≠0，b≠0，則ab≠0；若a≠0，且ab=ac，則b=c，以及（a·6）·c=a·（b·c）都成立，但在平面向量中，類似結(jié)論不一定成立。

事實上，由向量的數(shù)量積定義可知，a·b=|a|·|b|cosθ（其中θ是向量a與b的夾角），因此a·b=0，應(yīng)有a=0或b=0或a⊥b，所以①與②都是錯誤的。

對于③，因為向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而實數(shù)與向量的積是一個向量，要說明兩個向量相等，不僅方向要相同而且大小要相等，而③中等式的左邊是與c共線的向量，右邊是與a共線的向量，所以③是錯誤，即向量的“乘法”不滿足結(jié)合律。

對于④，兩個向量不能用“>”來比較。同學(xué)們經(jīng)?；煜蛄颗c向量的大小兩個概念，向量是既有大小又有方向的量。向量的大小即向量的模是一個數(shù)量，可以比較大小，但向量的方向卻無法比較大小，因此向量無法比較大小。

正解 0。

評注 具體可參考前文《向量個性知多少？》

四、忽視函數(shù)圖象平移與向量平移的區(qū)別