數學期望在投資決策中的應用

摘 要：該文根據數學期望的有關概念，從概率論的角度舉例說明數學期望在投資決策中的應用，把現實中的實際問題轉化為數學問題。

關鍵詞：數學期望 離散型隨機變量 連續型隨機變量

中圖分類號：F7 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）03（b）-0-02

現代社會是一個競爭非常激烈的社會，同時又是經濟社會，面對新世紀的發展要求，培育和不斷壯大投資，形成能力無疑具有突出的意義。就小的方面說，經濟問題與我們的生活息息相關，大的方面涉及到如何在這個競爭的社會中有所發展獲得最大的經濟利益？這是一個決策問題，在未來的投資戰略設計中，促進投資高水平形成是不可回避且必須著力解決的焦點問題之一。下面就談談數學期望在經濟問題—投資決策中的應用。

數學期望（mathematical expectation）簡稱期望，又稱均值，是隨機變量按概率的加權平均，表征其概率分布的中心位置。數學期望是概率論早期發展中就已產生的一個概念。當時研究的概率問題大多與賭博有關。假如某人在一局賭博中面臨如下的

情況。

在總共+種等可能出現的結果中，有種結果可贏得，其余種結果可贏得，則就是他在該局賭博中所能期望的收入。數學期望的這種初始形式早在1657年即由荷蘭數學家C.惠更斯明確提出。它是簡單算術平均的一種推廣。

1 數學期望的類型

1.1 離散型隨機變量的數學期望

若隨機變量的概率分布為

P（=）=，若級數 絕對收斂，則稱=++…+ +…為的數學期望或均值。

1.2 連續型隨機變量的數學期望

設連續型隨機變量的密度函數為，若 絕對收斂，則稱

=為連續型隨機變量的數學期望。

1.3 隨機變量函數的數學期望

設是隨機變量，是的函數。

（1）當是離散隨機變量，其分布律為=

隨機變量的數學期望為=

（2）當是連續型隨機變量，概率密度是，隨機變量的數學期望為=

2 數學期望在經濟問題—投資決策中的應用

2.1 投保問題

2.2 中彩問題

2.3 商品流通問題

例：假定國際市場每年對我國某種商品的需求量是一個隨機變量（單位為噸），它服從[2000，4000]上的均勻分布，已知每售出一噸該商品，就可以賺得外匯3萬美元，但若銷售不出，則每噸需倉儲費用1萬美元，那么外貿部門每年應組織多少貨源才能使收益最大。

分析：收益是由銷售量與組織的貨源數量共同決定的。以記組織的貨源數量，問題是要確定一個最優的，為此需要確定這些量之間的關系。由于銷售量與需求量有關，后者是一個隨機變量，因此收益是的函數，并且也是一個隨機變量，記為，顯然只考慮的情況則可有下述關系式。

2.4 資金投資問題

例：某人用10萬元進行為期一年的投資，有兩種投資方案：一是購買股票，二是存入銀行獲取利息，買股票的收益取決于經濟形勢，若形勢好可獲利4萬元，形勢中等可獲利1萬元，形勢不好要損失2萬元，如果存入銀行，假設年利率為8%，可得利息8000元，又設經濟形勢好、中、差的概率分別為30%、50%、20%試問應選擇哪一種方案可使投資的效益較大？

分析：在經濟形勢好和中等的情況下，購買股票是合算的；但如果經濟形勢不好，那么采取存入銀行的方案合算，然而事先是不知道哪種情況會出現的，因此要比較兩種投資方案獲利的期望大小。

3 結語

該文從投保問題、中彩問題、商品流通問題、資金投資問題四個方面舉例說明數學期望在經濟問題中的應用。這是我們在日常工作生活中經常遇到的一些現實問題，通過分析、抽象與簡化具有普適性，從形式上看這個問題很簡單，但很值得我們進行認真的思考，有待于我們繼續研究。