利用現代技術探究數學奧秘

【摘要】通過借助電腦工具探究自編自解題目“已知圓A：x2+y2=R2（R>0），定點B（a，0）（a>0），E是BC所在直線上的一點，且點E分CB的比為λ。

一、問題的引出：

已知圓A：x2+y2=R2（R>0），定點B（a，0）（a>0），E是BC所在直線上的一點，且點E分CB的比為λ。

（1）過點E作BC的垂線與AC所在的直線相交于點P，求點P的軌跡。

（2）若AC交圓于另一點F，過E點作直線AC的平行線交BF于G點，過點E與G分別做直線BC與BF的垂線，求這兩條垂線交點H的軌跡。

我對該題進行了探索，在求解過程中我借助了電腦工具采用了幾個有特色的方法，探究出很多重要的結論，下面介紹一下我的探究過程，請專家給予指導。

二、探究過程：

探究一：E為特殊點的情況：

1.若E為BC的中點

借助幾何畫板工具很容易描繪P點的軌跡圖形是以A，B兩點為焦點的橢圓（如圖3），證明過程可以借助“動點P到定點A，B的距離之和等于定值”這一關鍵（證明過程略）。從圖3中可以得出第一個猜想：

BC的中垂線可能是橢園的切線，下面給出證明過程：

證明：若BC的垂直平分線EP不是橢圓P的切線，則直線與橢圓還有一個交點P'，所以應有|P'A|+|P'B|=R，而 |P'B|=|P'C|，所以|P'A|+|P'C|=R，所以P'、A、C三點共線，所以 P'與P重合，所以猜想是正確的。

若設圓A：x2+y2=R2（R>0） ，定點B（a，0）（a>0），圓上有一動點C（x0，y0） ，則容易得出：P點的軌跡方程為：

■+■=1 。

由此得出定理一：

定理一：圓A內有一定點B，圓上有一動點C，線段BC的垂直平分線交AC于點P.則點P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，該垂直平分線是該橢圓以P為切點的切線。

若AC交圓于F，線段BF的垂直平分線交AF于點J，EP與GJ交于點H，問H的軌跡？

借助幾何畫板的演示可以看出H的軌跡是一條直線，根據圖象的特點可以得出猜想二該直線可能是橢圓的準線。

下面給出證明過程：設圓A：x2+y2=R2（R>0）內有一定點B（a，0）（a>0），圓上有一動點C（x0，y0），則容易得出：

直線PE的方程為： y-■=-■（x-■） （1）

直線GJ的方程為： y+■=-■（x-■） （2）

考慮到：x■■+y■■=R2（R>0） 容易得：H的軌跡是直線方程為： x=■

因為P點的軌跡方程為■+■=1 ，容易證明x=■，即是橢圓■+■=1 的準線。

由此得出定理二：

定理二：圓A內有一定點B，圓上有一動點C，線段BC的垂直平分線交AC于點P，AC交圓于F，線段BF的垂直平分線交AF于點J，EP與GJ交于點H，則H點的軌跡是P點軌跡橢圓的一條準線。

利用幾何畫板拖動點B，當點B在圓上或是在圓外的時候，發現點P的軌跡不是橢圓了，由此得出猜想三，這時點P的軌跡是是雙曲線，點H的軌跡是該雙曲線的一條準線。

證明：當點B在圓上時，非常簡單發現點P與圓心A是重合的，說明這時點P年軌跡就是一點A，點H的軌跡也是點A，說明猜測是不正確的，當點B在圓外時，由雙曲線的定義知，點P的軌跡是雙曲線，因為點P與點H的軌跡方程分別是■+■=1， x=■ ，這時a>R所以以上兩個方程變為：■-■=1 與 x=■ 顯然直線x=■是■-■=1的一條準線。

由此得到定理三：

定理三：若B點在圓A上，圓上有一動點C，線段BC的垂直平分線交AC于點P，AC交圓于F，線段BF的垂直平分線交AF于點J，EP與GJ交于點H，P點與H的軌跡都是圓心點A，若B點在圓外，點P的軌跡是一雙曲線，點H點的軌跡是該雙曲線的一條準線。

從該題的探究過程中發現猜想的結論當點B在圓上時點P的軌跡是雙曲線，而在證明過程中得出點P的軌跡確是一個點。

因此可以有以下心得：就是單純的從幾何畫板的圖形展示中得出的結論有時是不可靠的，必須經過科學的證明才可信。

2.E與C點重合

容易得P點的軌跡是一個圓，其方程為：x2+y2=R2（R>0）

3.E與點B重合

設C（Rcosθ，Rsinθ），則E（a，0）

KBC =■，則PE的方程：y=■（x-a），AC的方程為：y=tanθx，將PE與AC的方程聯立得點P軌跡的參數方程為：x=■y=■

經幾何畫板演示，圖形是由兩個類似橢圓形成的圖形如圖5：

探究二：E為一般點的情況：

若點E為一般點， 點E分CB的比為λ。

（1）過點E作BC的垂線與AC所在的直線相交于點P，求點P的軌跡。

（2）若AC交圓于另一點F，過E點作直線AC的平行線交BF于G點，過點E與G分別做直線BC與BF的垂線，求這兩條垂線交點H的軌跡。

通過幾何畫板演示，由此得出一個猜想，

猜想四：（2）點H的軌跡還是一條直線。

下面給出該猜想的證明過程：

證明：設圓A：x2+y2=R2（R>0）內有一定點B（a，0）（a>0），圓上有一動點C（Rcosθ，Rsinθ），則 E（■，■）， F（-Rcosθ，-Rsinθ），G（■，■） K■=■，

KBF=■ 則HE的方程：

y-■=■（x-■） ，HG的方程為：

y+■=■（x+■）

由此得H點的參數方程：

x=■y=■（θ為參數）。

從橫坐標x看，顯然是一條直線但從縱坐標y看， 的值域還無法求出，這還不能說明猜想五的準確，只能說明點H在垂直于AB的直線上。

由此得到出定理四：

定理四：已知圓A：x2+y2=R2（R>0），定點B（a，0）（a>0），E是BC所在直線上的一點，且點E分CB的比為λ，若AC交圓于另一點F，過E點作直線AC的平行線交BF于E？蛐 點，過點E與E？蛐 分別做直線BC與BF的垂線，則這兩條垂線交點H在與線段AB垂直的直線上。（如圖6）

參考文獻：

《內蒙古信息技術教學研究論文集》于顯雙 東北師范大學出版社