取樣定理的推導與教學探討

【摘要】取樣定理是“信號與系統”、“數字信號處理”等課程的重點和難點之一。本文針對大多數教科書對于取樣定理的推導過程不夠完整，造成學生理解困難的問題，通過兩種方法對取樣定理的原理進行了詳細推導，降低了學生理解的難度，提高了教學質量，取得了較好的教學效果。

【關鍵詞】數字信號處理 信號與系統 取樣定理

【中圖分類號】G4 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）02-0154-02

由于相對于連續信號，離散信號的處理更為方便、靈活，因此在很多的實際應用過程中，首先將連續信號轉換為相應的離散信號，對其進行加工處理，再將處理后的離散信號轉換為連續信號。這樣一來，就出現了一個問題：連續信號轉換為離散信號，相應的離散信號是否保留了原連續信號的全部信息，能不能由離散信號不失真地還原出原來的連續信號？時域取樣定理（以下簡稱取樣定理）很好地回答了這個問題，它為連續信號與離散信號的相互轉換提供了理論依據。因此，取樣定理是“信號與系統”、“數字信號處理”等課程的重點和難點之一。本文將重點探討取樣定理的教學。

一、取樣及取樣定理的內容

連續信號的取樣是由取樣器（實際中為A/D轉換器）來完成。取樣器就相當于一個電子開關，每隔T秒閉合一次，并對該電子開關的輸出進行編碼，得到原來連續信號xa（t）在nT時刻的樣本值x（n）=xa （nT），如圖1所示：

圖1 連續信號的取樣

奈奎斯特（Nyquist）和香農（Shannon）分別于1928年和1949年提出了取樣定理，取樣定理指出[1-9]：一個頻譜在區間（-fh，fh）以外都為零的頻帶有限信號xa（t），可以唯一地由其在均勻間隔Ts（Ts<1/2fh ）上的樣值點x（n）確定。

二、取樣定理的推導證明

在介紹取樣定理時，很多教材[1-6]中都給出了其推導證明，然而其推導過程引入了取樣脈沖函數δT（t）和取樣函數■a（t），如圖2所示，通過分析取樣信號■（t）的頻譜與連續信號xa（t）的頻譜關系，得出當取樣頻率fs小于連續信號xa（t）最高頻率的兩倍時，頻譜發生混疊，無法還原出原來的連續信號xa（t）；當取樣頻率fs大于連續信號xa（t）最高頻率的兩倍時，沒有發生頻譜混疊，可以通過低通濾波器無失真地還原出原來的連續信號xa（t），從而推導出取樣定理的內容。然而，這里的取樣信號仍然是一個連續信號，它并不是最終的離散信號x（n），沒有證明取樣定理論述的連續信號xa（t）和離散信號x（n）的頻譜關系。因此，使得學生對于取樣定理的原理難以理解掌握。

圖2 抽樣器的原理

針對以上問題，有必要分析連續信號xa（t）和離散信號x（n）的頻譜關系，對取樣定理的原理進行完整地推導。以下分別通過直接法和間接法來推導取樣定理的原理。

1.直接法

設xa（t） 的頻譜為Xa（jΩ），離散信號x（n）的頻譜為X（ejω）， 由連續信號傅立葉變換和序列傅立葉變換可知：

xa（t）=■■X■（jΩ）e■dΩ （1）

x（n）=■■X（e■）e■dω■ （2）

在（1）式中令t=nT（T為時域取樣周期，取樣頻率fs=1/T），可得

xa（nT）=x（n）=■■X■（jΩ）ejΩtndΩ

=■■■X■（jΩ）ejΩtndΩ （3）

對（3）式作變量代換，令Ω=Ω'+■，可得

x（n）=■■■X■[j（Ω'+■）]e■dΩ'

=■■■X■[j（Ω+■）]e■dΩ （4）

令ω=ΩT，對（4）整理可得

x（n）=■■■■X■[j（■）]e■dω （5）

對比（2）式和（5）式可得

X（e■）=■■X■[j（■）] （6）

上式給出了連續信號頻譜與離散信號頻譜的關系式，從中可以看出，由連續信號的頻譜可以通過以下兩部得到離散信號的頻譜：第一步，對連續信號的頻譜進行換元、水平軸上的尺度展縮，信號的最高角頻率由Ωh變化到ΩhT；第二步，對頻譜圖以2π的整數倍為間隔進行平移，然后進行疊加，其幅值變為原來的1/T。由以上過程可知，只要ΩhT≤ π，即原連續信號的最高頻率2fh< fs=1/T，則頻譜平移疊加后不會發生頻譜的混疊，可以無失真地換原出原連續信號，取樣定理得證。

2.間接法

間接法可以借助取樣信號■a（t）的頻譜為橋梁，得出連續信號頻譜與離散信號頻譜的關系。因為■a（t）=xa（t）·δT（t）=■xa（nT）δ（t-nT），由傅立葉變換的定義，可得

■a（jΩ）=■xa （nT）e-jnΩT （7）

由序列傅立葉變換的定義可知

X（ejω ）=■x（n）e-jnω =■xa（nT）ejnω （8）

考慮到模擬頻率與數字頻率的關系ω=ΩT，對比（7）式和（8）可知，取樣信號■a（t）的頻譜與離散信號的頻譜是等價的，可以用取樣信號■a（t）的頻譜代替離散信號的頻譜，觀察它們與連續信號頻譜的關系。

由于xa（t）=xa（t）·δr（t） ，根據傅立葉變換的卷積定理，可以推導得出

■a（jΩ）=■■X■[j（Ω-nΩs）] （9）

由上式可知，取樣信號（離散信號）的頻譜可由連續信號的頻譜，以取樣頻率為周期進行周期延拓而得到。只要取樣頻率大于連續信號最高頻率的兩倍，則不會發生頻譜混疊，可以無失真地還原出原連續信號，取樣定理得證。

許多教材在推導取樣定理時，只推導出描述取樣信號的頻譜可由連續信號的頻譜關系的（9）式，但是并沒有推導指出取樣信號的頻譜與離散信號的頻譜是等價的，從而造成學生理解的困難。

三、取樣定理的工程應用

在實際應用過程中，許多工程信號不是頻帶有限信號，即不滿足取樣定理，不能直接取樣。需要在取樣之前加入抗混疊低通濾波器，去掉f>fs/2的高頻成分，然后在進行取樣。圖3給出加抗混疊低通濾波器和不加抗混疊低通濾波器兩種情況下，連續信號與取樣信號的頻譜圖對比。從中可以發現，加入抗混疊低通濾波器之后，頻譜的混疊失真可以大大減小。

圖3 連續信號與取樣信號的頻譜圖對比 （a）加抗混疊低通濾波器 （b）不加抗混疊低通濾波器

四、結論

取樣定理是“信號與系統”、“數字信號處理”等課程非常重要的知識點之一，本文針對大多數教科書對于取樣定理的推導過程不夠完整，造成學生理解困難的問題，采用直接法和間接法兩種方法對取樣定理的原理進行了詳細推導，減低了學生理解的難度，同時通過取例使得學生對于取樣定理有了更加直觀的理解，取得了較好的教學效果。

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作者簡介：

楊忠林（1978-），男，江西九江人，博士研究生，海軍工程大學講師。