“數”與“形”融為一體

華羅庚先生曾指出：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事非?！庇纱丝梢?，數形結合思想在數學中的重要地位，它是數學思想方法的核心。在小學數學教學中，數形結合能不失時機地為學生提供恰當的形象材料，可以將抽象的數量關系具體化，把無形的解題思路形象化，不僅有利于學生順利的，高效率的學好數學知識，更有利于學生學習興趣的培養，智力的開發，能力的增強，使教學收到事半功倍之效。

一、由數想形

所謂由數想形即利用數的計算來揭示幾何形體的特征及它們之間的內在聯系。根據數學問題中“數”的結構特征，構造出與之相應的幾何圖形，并利用幾何圖形的特征，規律來研究解決問題，可以化抽象為直觀，易于顯露出問題的內在聯系。在小學數學教學過程中對于不同的問題，可將數量關系轉化為不同的圖形。其中有一個原則：能把數量關系最清晰、最直接地顯示出來的圖形，是我們最佳的選擇。

例1：講數字3時，用3根小棒擺成三角形，講4時，用4根小棒擺成正方形。這樣處理，既有利于學生通過直觀實物抽象出數字3和4，也有利于學生初步認識這些圖形的某一特征（如三角形有三條邊，正方形有四條邊）。通過數形結合探索規律可以培養學生抽象概括的能力，發展思維的創造性。出題目時要注意多層次，以便于區分學生的不同思維水平。

（l）照下圖的樣子用小棒連著擺正方形。

□□ 擺2個用（ ）根

□□□ 擺3個用（ ）根

□□□□ 擺4個用（ ）根

（2）連著擺6個正方形，要用（ ）根小棒，寫出算式。

（3）如果不數小棒，你能找出一般的計算公式嗎？

此題有3個層次，第1小題是通過直觀進行計算，第2小題離開直觀進行計算，第3小題脫離具體計算概括公式。實驗表明，學生的答案呈現不同的思維水平。例如，有的學生第2小題就做錯了，有的學生第2題雖然做對，但不會在此基礎上概括出一般計算公式。

一位教師出了這樣一個題目：“某車間用一塊長90分米、寬60分米的鐵皮剪成半徑是10分米的圓形鐵片，該怎樣下料才能使鐵皮的利用率最高？”

結果多數學生列成下式：90×60÷（3.14×102）≈17個；部分學生通過畫圖（左下圖）得到答案是12個；還有一部分學生通過操作（如右下圖）得到答案是13個。

通過討論，學生認識到最后一種方法利用率高，而第一種計算方法是脫離了實際。通過這樣的問題使學生初步體會到在解決實際問題時絕不能生搬硬套所學的計算知識，還要注意對實際問題進行具體分析。

二、見形思數

“見形思數”的核心是將形的變化抽象為數學符號。某些有關幾何圖形性質的問題，可轉化為數量關系的問題，借助代數運算、三角運算或向量運算，?？苫y為易，獲得簡單易行的解題方案。

如，平行四邊形的面積公式是根據長方形的面積公式推倒出來的。教學時可分三步走，首先教學生用數方格的方法來學習求平行四邊形的面積。接著引導學生操作，運用割補，平移的方法，把一個平行四邊形轉化為一個與它面積相等的長方形。然后通過觀察思考分析推理，讓學生找出長方形的長和寬與原平行四邊形的底和高的關系，從而推導出平行四邊形的面積計算公式。通過平移轉化的方法把新知識轉化為舊知識，以舊引新，使學生既學會了新知識又復習了舊知識。

眾所周知，小學生從形象思維向抽象思維發展，一般來說需要借助于直觀。

中年級學生學習“求比一個數的幾倍還多幾（少幾）”的應用題時，學生對“幾倍多幾”或“幾倍少幾”較難理解，為突破這個教學難點，設計了下面的圖形：

結合圖形，讓學生說，有6個□，△的個數比□的3倍還多4個；也可以說，有6個□，△的個數比□的4倍少2個；

接著，出示下面的問題：

（1）□有6個，△比□的3倍多4個，△有多少個？算式：6×3+4=22個

（2）□有6個，△比□的4倍少2個，△有多少個？算式：6×4-2=22個

比較兩題的算法，都要分兩步。第一步先求整倍是多少；第二步再加上倍相差的數。教學時不妨把這兩個相關的內容結合起來一起教，并借助圖形的幫助，學生更容易理解，學生的思維也更靈活。如自編應用題時，有的學生編了：“皮球的個數比足球的4倍少3個，也就是比足球的3倍多2個，皮球有多少個？”這題編得富有創造性，如果沒有圖形的幫助，這樣的教學效果也是不可能達到的。

解題經驗告訴我們，當尋找解題思路發生困難時，不妨從數形結合的觀點去探索；當解題過程的復雜運算使人望而生畏時，不妨從數形結合的觀點去開拓新路；當需要檢驗結論正確時，不妨從數形結合的觀點去驗證，它常會給我們帶來滿意的效果。

數學研究的是現實世界的數量關系和空間形式，而現實世界本身是同時兼備數與形兩種屬性的，既不存在有數無形的客觀對象，也不存在有形無數的客觀對象。因此，在數學發展的進程中，數和形常常結合在一起，在內容上互相聯系，在方法上互相滲透，在一定條件下互相轉化。人們總是充分運用數形結合，數形轉化的方法解決各種數學問題。

（作者單位：浙江省義烏市廿三里第二小學）