淺談數學難點與難點教學

確切地確定并成功地突破教學難點是提高教學質量的關鍵。那么，如何確定又怎樣突破教學難點呢？我認為，這不僅是一個方法問題，還是一個教學思想問題。中職數學教學中，有不少知識使學生學起來感到困難。一般地說，這些困難是由于在學生已有的認知結構和新知識的要求之間存在著一定的差距引起的。解決難點的過程，就是縮小和消滅差距的認知過程。本文淺析形成難點的原因，從而提出解決難點的方法。

一、形成難點的幾種主要因素

在教學過程中，常見的形成難點的主要因素有：

1.知識的本身抽象而學生的具體經驗少

例如在講述數列極限定義時，對于無窮數列an=■

當n無限增大時an的極限值為0，是以怎樣的方式接近，又以怎樣的形式體現，產生學習上的困難。

2.知識的精深而學生基礎知識淺薄

例如復數的概念學生不宜接受。虛數單位i則是從解二次方程的需要出發而給出的，i2=-1比較抽象。此外，復數、實數、虛數、純虛數等概念也容易混淆，特別是復數的開方推導過程比較復雜，學生學起來很吃力，達不到形成能力的目的，因而產生困難。

3.知識的容量大，而學生對基礎知識的掌握殘缺不全

例如用數學歸納法證明與自然數n有關的命題時，由假設當n=k時命題成立的遞推基礎去推證當n=k+1時命題亦成立，往往用到多方面的知識進行轉化，學生一時難以融合各方面的知識而產生困難。

4.知識的內部結構錯綜復雜，而學生的分析綜合推理能力薄弱

例如三角函數的公式紛繁復雜，如果沒有相當熟練地技能，就易感于表面的現象而不能產生正確的解題思路。

5.知識由舊到新，而學生的認識守舊，沒有真正理解新知識的本質，產生困難

例如數的概念由實數集擴充到復數集后，并不是實數集所有性質復數集都具有，而出現對于x∈c，x2≥0，x1=（x3）■這樣的錯誤。

6.對重要的數學思想方法沒有真正掌握

整體處理法、數學歸納法、分析綜合法……等方法在數學解題中占有相當重要的地位，而學生卻沒有真正掌握，產生困難。

7.思維單一，方法死板

在解題過程中，知識的實質比較隱蔽，而學生又喜歡從表面上著眼，一味以陳規考慮問題，如一見到題目，不管三七二十一，就用傳統的方法求解問題，限制了思維的擴展，如求方程x■+2■=17的整數解，學生拿到題目后，往往采用兩邊同時平方的方法，進而產生高次方程，不利于求解，若轉向考慮x的取值范圍是整數以及整數的性質，通過解不等式組5x+1≥0x■≤17得x=0，1，2，3，4，又因2■是偶數，17是奇數，要使方程有整數解，x2即x必須為奇數，所以x=1或x=3，經驗證，x=3是原方程的解。

8.“語言不通”產生困難

用數學的特定含義的詞句或符號表示的語言，我們稱為數學語言。數學語言具有敘述簡練，結構嚴謹，推理嚴密和表達抽象。某些字詞具有特定含義等特點，如兩個集合并集概念A∪B=x∈A或x∈B中的“或”與自然語言中的“或”是不相同的，自然語言中的“或”是作“不可兼有”理解，如甲去或乙去，應是甲去且乙不去、乙去且甲不去中兩者之一成立。而并集概念中的“或”作“可兼有”理解，即有三種可能：甲去乙不去、乙去甲不去、甲乙都去，也就是甲乙中至少有一人去。正是數學語言的這些特點，增加了學生學習上的困難。

二、解決難點的方法

針對上述形成難點的原因，相應地有以下一些解決難點的方法：

1.豐富知識，積累經驗，由感性認識逐步過渡到理性認識

2.由淺到深、由粗到精、循序漸進，逐步上升

如教授對應、映射、函數、一一映射；逆映射、反函數等概念時；我們要一一講清各個概念，分析其間的區別與聯系，使學生真正理解各個概念，消除難點。

3.溫舊補缺，打好基礎

如在講授不等式的解法時，我們首先應復習一下一元二次函數、一元二次方程，一元一次方程等有關知識，以便在解一元二次不等式時能借助一元二次函數圖像直觀、準確、迅速地給出解答。

4.由淺入深，各個擊破

在求數列的通項公式一節時，有題：寫出數列7，77，777，7777……的通項公式。可先將數列改寫為7×1，7×11，7×111……進一步寫成7×■，7×■，7×■……而數列9，99，999……的通項公式學生已很熟知。這樣就層層降低了解題難度。進而寫出數列的通項公式：an=■（10n-1）（n∈N+）

5.左右襯托，相輔相成，突出本質

例如用分析法證明問題時，有的學生要在分析完畢時加上“以上推理步步可逆“，判斷原命題得證。自以為該題證得完美，而并不去認真地審視推理過程中的每一步是否真的可逆；對于不可逆的，我們通常用綜合敘述的方法來補分析法之不足，這亦是人們所說分析綜合法之優勢。

6.揭露新舊概念的聯系與區別

例如在數的概念由實數集擴充到復數集后，實數集的性質復數集并不全部具有，但由于學生受實數集內解題的“定勢思維”的影響，往往會不自覺地把實數集的性質、法則及解題方法應用到復數集中去，產生錯誤，數學中應通過一些典型例題，加深學生對復數概念和性質的理解，從而對實數與復數的性質有一個鮮明的對比，有一個整體的認識。

總之，在處理教學難點時，要樹立正確的教學觀，充分發揮它的正效應；在策略上，要圍繞克服認知難點這個總任務來積極攻克知識難點。當然，本文強調教學難點的積極作用，并不是主張問題越難越好。因為教學難點的處理，都必須符合知識結構與認知結構的科學規律，遵循力所能及的原則。只有這樣，才能收到良好的效果。

（作者單位：新疆奎屯七師職業技術學校）