短弧長積分法與平均加速度法的比較分析

基金項目： 中央高校基本科研業務費專項資金資助項目（SWJTU12BR012）

作者簡介： 黃強（1986-），男，博士研究生，研究方向為衛星重力測量，電話：15102885641，E-mail：406599573@qq.com

文章編號： 0258-2724（2013）03-0455-06DOI： 10.3969/j.issn.0258-2724.2013.03.010

摘要：

為比較短弧長積分法和平均加速度法在衛星重力反演中的效果，用Fortran程序語言分別基于短弧長積分法和平均加速度法編寫了2套計算程序，對GOCE（重力場和靜態海洋環流探測）衛星精密科學軌道進行了反演計算，得到了2組90階次的重力場模型Model_Arc（短弧長積分法）和Model_Acc（平均加速度法）.結果表明：Model_Acc大地水準面階誤差最大在80階僅4 cm，而Model_Arc在90階處達到10 cm；2個模型總體上都比用CHAMP和GRACE衛星的軌道數據反演的模型精度高，Model_Acc在80階次以前比GO_CONS_GCF_2_TIM_R3精度高，但平均加速度法耗時比短弧長積分法長.

關鍵詞：

短弧長積分法；平均加速度法；重力反演；GOCE（重力場和靜態海洋環流探測）

中圖分類號： P223文獻標志碼： A

利用軌道數據反演重力場模型的方法中，較常用的方法有能量守恒法、點加速度法、平均加速度法、短弧長積分法和動力學法等[1-4].其中，短弧長積分法和平均加速度法在反演過程中不需要速度向量，避免了數值微分計算后得到的低精度速度向量代入到反演計算中.另外，這2種方法得到的觀測方程本身就是線性的，不需要先驗重力場模型，也不需要迭代計算.因此，在軌道反演方法中，平均加速度法和短弧長積分法比其他方法具有一定的優勢.

短弧長積分法和平均加速度法都基于牛頓運動方程，并且平均加速度法可以在短弧長積分法的基礎上推導出來，因此平均加速度法又稱為超短弧長積分法（每段弧長僅3個歷元），但這2種方法的數值積分計算較復雜.游為等對短弧長積分法進行了研究，并提出了改進的短弧長積分法[5]；趙齊樂、柳響林等對平均加速度法進行了研究，取得了不錯的效果[6].

GOCE（gravity field and steady-state ocean circulation explorer）[6-14]衛星已于2009年3月17日發射升空，采集的數據包括衛星軌道數據和重力梯度數據，結合2種類型的觀測數據，可以反演出兼顧中長波和中短波信息的高精度重力場模型，在數據釋放以前武漢大學鐘波等就開始了對GOCE衛星的模擬研究[15].

由于短弧長積分法與平均加速度法存在一定程度的聯系，因此分別基于短弧長積分法和平均加速度法編寫了2套Fortran計算程序，計算了62 d的GOCE衛星軌道數據，反演了2組90階次的重力場模型，對2種方法的計算結果進行了比較，并將計算模型同基于CHAMP（challenging mini-satellite payload）、GRACE（gravity recovery and climate experiment）、GOCE的一些高精度模型進行了比較分析，可供進一步聯合GOCE衛星軌道和梯度數據反演重力場模型參考.

1

計算方法

1.1

短弧長積分法

短弧長積分法是基于牛頓運動方程，將衛星軌道表示成Fredholm積分方程形式的邊界值問題，并采用積分方程的方法求解地球重力場模型.短弧長積分法的思想最初應用于軌道的確定，1969年Schneider 和 Reigber將該方法應用于地球重力場模型的確定，2005年Mayer首次將短弧長積分法應用于CHAMP衛星真實數據的處理，隨后被應用到GRACE衛星數據確定重力場模型.這里略去繁瑣的公式推導過程，直接給出短弧長積分法的觀測方程：

值得注意的是，非保守力只在局部指北坐標系下具有一定的規律性，而方程又是在慣性系下聯立的，因此，必須進行相關坐標系間的轉換.

1.2

平均加速度法

加速度法分為點加速度法和平均加速度法2種，前者需要通過軌道內插和微分計算，后者則不需要，因此平均加速度法比點加速度法更嚴密.

平均加速度法可以在短弧長積分法的基礎上推導出來.假設短弧長積分法每個弧段僅有3個歷元，將其代入到短弧長積分法的方程中，經過對積分時間的轉換，可以得到平均加速度法的觀測方程：

平均加速度法的加速度由相鄰3個歷元差分計算，從而避免了點加速度法中數值微分計算和因數據缺失導致的大量歷元信息不能使用的情況.另外，平均加速度法的積分計算仍采用移動窗口多項式插值，平均加速度法定權的問題見文獻[3].平均加速度法的方程雖由3個歷元組成，但仍可化簡為式（2）的矩陣形式.為消除非保守力的影響，同樣采取每個弧段消除一個局部參數的方法.

1.3

連續最小二乘平差

由于重力衛星觀測數據量巨大，以10 s采樣間隔為例，60 d的數據就超過50萬個歷元，若反演90階的重力場模型，未知參數可達8 277個，如直接對數據形成法方程矩陣，普通電腦難以承受.為此，本文采用了連續最小二乘平差的方法，以每個弧段的數據作為一個單位形成法方程，最后將所有弧段法方程累加再求解.矩陣形式的短弧長積分法和平均加速度法形成的弧段方程為：

從圖3可見：

（1） Model_Arc在30階次以前與國際上用時域法反演的GOCE衛星高精度重力場模型Model_GOCE精度一致，30階次以后精度較低.

（2） Model_Acc精度在80階次以前比Model_GOCE精度高，80階次以后精度略低，其主要原因是Model_GOCE模型包含了精密科學軌道數據和重力梯度數據2種重力信息，在低階處梯度數據反演精度較低，高階處梯度數據發揮了其包含豐富中短波信息的特點，反演精度較高.

（3） 由于GOCE衛星軌道高度比CHAMP低，更能感知地球重力場模型的信息，因此，Model_Acc和Model_Arc都比CHAMP衛星反演的模型EIGEN-champ03s精度高.

（4） Model_GRACE是由GRACE衛星軌道數據反演的模型，由于GRACE衛星軌道全球覆蓋，因此，與利用GOCE衛星軌道數據反演的重力場模型相比，在低階處精度更高.但GOCE衛星軌道高度比GRACE軌道高度低，更能感知地球重力場模型的信息，因此在高階處Model_GRACE精度較差.

為了進一步評價幾個模型的精度及可靠性，取上述模型前90階次計算全球5°×5°的大地水準面高，并且計算與EIGEN-5C計算的大地水準面高的差，結果見表1.

從表1可見，利用平均加速度法反演的模型Model_Acc的精度僅比Model_GOCE差，主要原因是Model_GOCE反演計算的數據量大，并且含有梯度數據信息.從以上數據精度評定結果可以驗證2套Fotran計算程序的正確性，為進一步系統利用GOCE衛星軌道數據和梯度數據反演出高精度的高階地球重力場模型奠定了基礎.

3

結論

（1） 短弧長積分法和平均加速度法分別利用GOCE衛星軌道數據反演的重力場模型精度總體偏低，尤其是低階次的精度低.主要原因是GOCE衛星并沒有全球覆蓋，在兩極分別有半徑約6.5°的空白區域.

（2） 短弧長積分法的反演模型Model_Arc比平均加速度法的反演模型Model_Acc的精度低，原因可能是短弧長積分法在弧段兩端采用了低階插值，導致兩端積分的精度偏低.

（3） 在相同的硬件條件下，短弧長積分法的計算速度更快，平均加速度法速度稍慢.

（4） GOCE衛星軌道數據反演的重力場模型比CHAMP衛星軌道數據反演的模型精度高，在低階處比GRACE衛星軌道數據反演的地球重力場模型精度低，高階則優于GRACE衛星軌道反演的結果.

參考文獻：

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