如何確定實際問題中的最值

葉錦森

所謂最值問題，就是求最大值或最小值問題.最值問題是現實生活中一種比較常見的數學問題，在中考中也時常出現.下面僅以實際問題中的最值為例，說明此類問題的解法.

一、根據不等式（組）的解集確定

例1我國從2011年5月1日起在公眾場所實行“禁煙”，為配合“禁煙”行動，某校組織開展了“吸煙有害健康”的知識競賽，共有20道題.答對一題記10分，答錯（或不答）一題記-5分.小明參加本次競賽得分要超過100分，他至少要答對__道題.

分析：本題實際是求最小值，可先列不等式求出不等式的解集，然后再確定最小值.

解：設小明答對x道題，則答錯（20-x）道題，依題意得10x-5（20-x）>100.解得x>131

3

所以小明參加本次競賽得分要超過100分，他至少要答對14道題.

說明：本例的結果實際是求不等式的最小整數解.

例2某校志愿者團隊在重陽節購買了一批牛奶到“夕陽紅”敬老院慰問孤寡老人，如果給每個老人分5盒，則剩下38盒，如果給每個老人分6盒，則最后一個老人不足5盒，但至少分得一盒.

（1）設敬老院有x名老人，則這批牛奶共有多少盒？（用含x的代數式表示）

（2）該敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？

分析：（1）根據“如果給每個老人分5盒，則剩下38盒”可表示出這批牛奶盒的數量；（2）實際是確定最小值和最大值.根據“如果給每個老人分6盒，則最后一個老人不足5盒，但至少分得一盒”可先列不等式組，求出不等式組的解，然后再確定最值.

解：（1）牛奶數量為（5x+38）盒；

（2）依題意得1≤（5x+38）-6（x-1）<5.

解得39

所以該敬老院至少有40名老人，最多有43名老人.

說明：（2）中的不等式組也可列成0<（5x+38）-6（x-1）<5或0<（5x+38）-6 （x-1）≤4或1≤（5x+38）-6（x-1）≤4，都可以求得正確結果.

二、根據計算結果確定

例3某中學為落實市教育局提出的“全員育人，創辦特色學校”的會議精神，決心打造“書香校園”，計劃用不超過1900本科技類書籍和1620本人文類書籍，組建中、小型兩類圖書角共30個.已知組建一個中型圖書角需科技類書籍80本，人文類書籍50本；組建一個小型圖書角需科技類書籍30本，人文類書籍60本.

（1）符合題意的組建方案有幾種？請你幫學校設計出來；

（2）若組建一個中型圖書角的費用是860元，組建一個小型圖書角的費用是570元，試說明（1）中哪種方案費用最低，最低費用是多少元？

分析：（1）設組建中型圖書角x個，然后列不等式組求出x的取值范圍，進而確定組建方案；（2）實際是確定最小值，可先計算出每種組建方案的成本，然后通過比較求出最小值.

解：（1）設組建中型圖書角x個，則組建小型圖書角為（30-x）個.

依題意得80x-30（30-x）≤1900

50x+60（30+x）≤1620

解得18≤x≤20.

∵x為整數，∴x =18，19，20，對應的30 -x =

12，11，10.

所以共有三種組建方案：

①中型圖書角18個，小型圖書角12個；

②中型圖書角19個，小型圖書角11個；

③中型圖書角20個，小型圖書角10個.

（2）方案①的費用是：860×18+570×12=22320（元）；

方案②的費用是：860×19+570×11=22610（元）；

方案③的費用是：860×20+570×10=22900（元）.

所以方案①費用最低，最低費用是22320元.

反思：注意到組建一個小型圖書角的費用比組建一中小型圖書角的費用少，這對于我們解決第（2）問有什么啟示？

三、根據生活或生產實際確定

例4某市打市電話的收費標準是：每次3分鐘以內（含3分鐘）收費0.2元，以后每分鐘收費0.1元（不足1分鐘按1分鐘計）.某天小芳給同學打了一個6分鐘的市話，所用電話費為0.5元；小剛現準備給同學打市電話6分鐘，他經過思考以后，決定先打3分鐘，掛斷后再打3分鐘，這樣只需電話費0.4元.如果你想給某同學打市話，準備通話10分鐘，則你所需要的電話費至少為（ ）

A.0.6元B.0.7元C.0.8元D.0.9元

分析：從市電話的收費標準及小剛打市電話的收費情況不難看出，如果通話時間較長，應盡量按照“每次只通話3分鐘，掛斷后再打3分鐘”的方式打市話，這樣所需的電話費較少.

解：先打3分鐘，掛斷后再打3分鐘，這樣只需電話費0.4元.最后再通話4分鐘，又需0.3元，這樣一共需0.7元，這也是所需的最少電話費.答案選B.

反思：最后通話4分鐘為什么沒有采取“先打3分鐘，然后再打1分鐘”的通話方式？

例5某園林部門決定利用現有的349盆甲種花卉和295盆乙種花卉搭配A、B兩種園藝造型共50個，擺放在迎賓大道兩側.已知搭配一個A種造型需甲種花卉8盆，乙種花卉4盆；搭配一個B種造型需甲種花卉5盆，乙種花卉9盆.

（1）某校九年級某班課外活動小組承接了這個園藝造型搭配方案的設計，問符合題意的搭配方案有幾種？請你幫助設計出來；

（2）若搭配一個A種造型的成本是200元，搭配一個B種造型的成本是360元，試說明（1）中哪種方案成本最低，最低成本是多少元？

分析：（1）可設搭建A種園藝造型x個，然后列不等式組求出x的取值范圍，進而確定搭配方案；（2）實際是確定最小值，由于搭配一個A種造型的成本比搭配一個B種造型的成本低，因此為了使成本最低，應盡可能多搭配A種造型，少搭配B種造型.

解：（1）設搭建A種園藝造型x個，則搭建B種園藝造型（50-x）個.

依題意得8x+5（50-x）≤349

4x+9（50-x）≤295

解得31≤x≤33.

∵x為整數，∴x =31，32，33，對應的30 -x =

19，18，17.

所以共有三種搭配方案：

①搭建A種園藝造型31個，B種園藝造型19個；

②搭建A種園藝造型32個，B種園藝造型18個；

③搭建A種園藝造型33個，B種園藝造型17個.

（2）由于搭配一個A種造型的成本是200元，搭配一個B種造型的成本是360元，即搭配一個A種造型的成本比搭配一個B種造型的成本低，所以搭配A種33個，B種17個成本最低.最低成本是33×200+17×360=12720（元）.

說明：在確定成本最低的方案時，正是根據“搭配一個A種造型的成本比搭配一個B種造型的成本低”，由于抓住了問題的本質，無需把每種方案的成本都計算出來再比較，因而解法比較簡捷.

四、根據一次函數的增減性確定

例6健身運動已成為時尚，某公司計劃組裝A、B兩種型號的健身器材共40套，捐贈給社區健身中心.組裝一套A型健身器材需甲種部件7個和乙種部件4個，組裝一套B型健身器材需甲種部件3個和乙種部件6個.公司現有甲種部件240個，乙種部件196個.

（1）公司在組裝A、B兩種型號的健身器材時，

共有多少種組裝方案；

（2）組裝一套A型健身器材需費用20元，組裝一套B型健身器材需費用18元.求總組裝費用最少的組裝方案，最少組裝費用是多少？

分析：（1）可設組裝A型的健身器材x套，然后列不等式組求出x的取值范圍，進而確定組裝方案；（2）實際是確定最小值，可先用含x的代數式表示出組裝費用y，然后利用一次函數的增減性求最小值.

解：（1）設該公司組裝A型健身器材x套，則組裝B型健身器材（40-x）套.

依題意得7x+3（40-x）≤240

4x+6（40-x）≤196

解得22≤x≤30.

∵x為整數，

∴x=22，23，24，25，26，27，28，29，30，對應的

40-x=18，17，16，15，14，13，12，11，10.

∴組裝A、B兩種型號的健身器材共有9種組裝方案.

（2）總組裝費用y=20x+18（40-x）=2x+720.

∵k=2>0，∴y隨x的增大而增大.

∴當x=22時，即組裝A型器材22套，組裝B型器材18套時，總的組裝費用最少，最少組裝費用是2×22+720=764元.

說明：一次函數在實數范圍內沒有最值.但在實際問題中，由于自變量有一定的取值范圍，如本例中22≤x≤30且x為整數，因此一次函數y=2x+ 720有最值.

五、根據二次函數的性質確定

例7某商店經營一種小商品，進價為每件20元，據市場分析，在一個月內，售價定為每件25元時，可賣出105件，而售價每上漲1元，就少賣5件.

（1）當售價定為每件30元時，一個月可獲利多少元？

（2）當售價定為每件多少元時，一個月的獲利最大？最大利潤是多少元？

分析：（1）略；（2）實際是確定最大值，設售價為每件x元，可先用含x的代數式表示出一個月的獲利錢數，然后再根據二次函數的性質求出最大值.

解：（1）當售價定為每件30元時，一個月可獲利（30-20）×[105-5（30-25）]=800（元）；

（2）設售價為每件x元，一個月的獲利為：

y=（x-20）[105-5（x-25）]=-5x2+330x-4600=-5（x-33）2+845.

∵a=-5<0，∴當x=33時，y的最大值是845.

所以當售價為33元時，一個月獲利最大，最大利潤是845元.

說明：一般情況下此類問題中拋物線的頂點橫坐標在未知數的取值范圍內，因此當x在頂點橫坐標處取得最值.

例8某商場經營某種品牌的童裝，購進時的單價是60元.根據市場調查，在一段時間內，銷售單價是80元時，銷售量是200件，而銷售單價每降低1元，就可多售出20件.

（1）寫出銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；

（2）寫出銷售該品牌童裝獲得的利潤W（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；

（3）若童裝廠規定該品牌童裝銷售單價不低于76元，且商場要完成不少于240件的銷售任務，則商場銷售該品牌童裝獲得的最大利潤是多少元？

分析：（1）、（2）略；（3）實際是確定最大值.可先求出x的取值范圍，然后再根據二次函數的增減性求最大值.

解：（1）y=200x+（80-x）×20=-20x+1800；

（2）W =（x -60） （-20x +1800） =-20x2+3000x -108000；

（3）依題意，得-20x+1800≥240

x≥76

所以商場銷售該品牌童裝獲得的最大利潤是4480元.

說明：只有當二次函數的頂點橫坐標在未知數的取值范圍內時，二次函數才在頂點橫坐標處取得最值，否則只能根據二次函數的增減性求最值，這是利用二次函數求最值時特別需要注意的問題.

（作者單位：福建省永春縣第八中學）