構造相似三角形基本圖形剖析

相似三角形在中考中應用特別廣，無論是填空、選擇，還是綜合應用題，大多要用到相似三角形，但在復雜的幾何圖形中很難分辨出相似三角形.其實不管多復雜的幾何圖形都是由基本圖形復合而成，因此熟悉相似三角形的基本圖形，有助于快速準確地識別相似三角形，從而順利找到解題的思路和方法.相似三角形基本圖形主要有以下幾種：

如圖1，在△ABC中，點D在AB邊上，點E在AC邊上.當DE∥BC時，△ADE∽△ABC，我們稱之為“A”字型，由“A”字型可得，AD·AC=AE·AB；如圖2，當∠ADE=∠C時，△ADE∽△ACB，我們稱之為反“A”字型，由反“A”字型可得，AD·AB=AE·AC.如圖4，在△ABC中，點D在CA邊的

延長線上，點E在BA邊的延長線上，當

∠AED=∠B時，△AED∽△ABC，我們稱之

為“8”字型，由“8”字型可得，AD·AB=AE·

AC；如圖5，當∠ADE=∠B時，△ADE∽

△ABC，我們稱之為反“8”字型，由反“8”字

型可得，AD·AC=AE·AB，若連接線段BD和

CE，可得△ABD∽△ACE.

如圖7和8，在△ABC中，點D在AB邊上，當∠ADC=∠ACB時，△ADC∽△ACB，我們稱之為“子母”型，由“子母”型可得，

AC2=AD·AB；如圖8，當∠ADC=∠ACB=90°時，△ADC∽△ACB∽△CDB，還可得BC2= BD·AB，CD2=AD·DB.

例：如圖9，已知AB∥CD，AD、BC相交于點E，F為EC上的點，且∠EAF=∠C.

求證：AF2=EF·FB.

解析：由AB∥CD

得∠B=∠C，

又∵∠EAF=∠C，∴∠EAF=∠B.

∴△AEF∽△BAF（“子母”型）.

∴AF

FB

如圖10，在△ABC中，點E在AB邊上，點D在AC邊上，∠AED=∠B.將△AED繞點A旋轉一定的角度，如圖11，則△AED∽△ABC，我們稱之為“旋轉”型.

如圖13，點A在線段CD上，當∠ACB=∠BAE=∠ADE時，△EAD∽△ABC，我們稱之為“M”型.

例：如圖14，在等腰△ABC中，∠ACB 120°，點D在AB邊上，∠EDF=30°，點E在AC邊上，點F在BC邊上，求證：△ADE∽△BFD.

解析：由等腰△ABC，∠ACB=120°得∠BAC=∠CBA=30°，

∴∠AED+∠ADE=150°.∵∠EDF=30°，∴∠BDF+∠ADE=150°.

∴∠AED=∠BDF.∴△ADE∽△BFD

很多幾何題并不直接給出這樣的基本圖形，需要我們添加輔助線構造這些基本圖形，從而得到解題思路.

例：把邊長為15的等邊△ABC折疊使點A落在線段BC上一點D處，且BD∶DC=1∶4，設折痕為MN，點M在線段AB上點N在線段AC上，求AN的長.