加強問題解決教學 發展應用創新意識

馬贊

胡趙云，浙江省衢州市實驗學校副校長，浙江省特級教師，兼職浙江省基礎教育課程改革專業指導委員會初中數學學科組成員，浙江省名師名校長工作室指導教師等。

《中國教師》：《義務教育數學課程標準（2011年版）》在課程總目標中將《義務教育數學課程標準（實驗稿）》的“解決問題”修訂調整為“問題解決”，您是如何理解這一變化的？

胡趙云：“問題解決”與“解決問題”，都是四個字，只是“問題”與“解決”前后順序不同，意味著兩者的意義與價值不同，可以從以下方面理解：

首先，這兩者的含義不一樣。“解決問題”的立足點是解決，往往是給出了問題，如何分析與解決這個已給定的問題，而“問題解決”要關注有沒有問題，如何發現問題，提出問題或表述問題，然后，想辦法分析問題，解決問題。“解決問題”主要指運用數學知識分析和解決問題這兩個方面，而“問題解決”包括從數學角度發現、提出、分析和解決問題這四個方面。

其次，這兩者產生的背景不一樣。“解決問題”在我國的教學大綱中早就存在。我記得1986年工作時，讀過《全日制中學數學教學大綱》，其中就有“逐步形成運用數學知識來分析和解決實際問題的能力”。其背景是我們國家百廢待興，急需用所學的知識解決工農業生產中存在的大量問題。而今天，隨著信息技術時代的到來，創新已成為民族發展的靈魂，沒有問題，不能發現問題，不能提出問題就沒有創新，在這樣的背景下，只會解決問題已經不夠了。

再次，這兩者的內容設置、教學展開方式也有區別。以問題解決的視角審視課程內容的設置與展開方式時，就會選擇現實的、生活的、數學的素材，讓學生從數學角度觀察、思考、分析、交流、發現相互之間的聯系、矛盾與存在的數學問題。用數學的方式表達出問題，然后研究分析解決問題的辦法，這與我國傳統的先講數學知識，再例題示范，后練習鞏固的呈現形式有著根本的區別。

《中國教師》：“問題解決”與“解決問題”中都有“問題”，這個“問題”與傳統的應用題有什么不一樣？

胡趙云：“問題”與傳統的應用題，這兩者有區別，它們不是一回事。傳統的應用題大多有明顯的人為編造痕跡，如情境作了簡化，數據作了優化；往往有一定的題型，如行程類、總分類、工程類、濃度類等；解決應用題的主要方式是找類型，套公式；答案總是確定的，往往這個應用題解完就是終點了，無須反思。而“問題”往往是現實的、生活的、數學的、開放的，很難用套題型的方式解決它；發現和提出問題、分析和解決問題往往需要依靠高于數學知識層面的能力、觀點、思想、意識；解決問題的策略與結果未必唯一確定；此問題解決后交流與反思空間大，往往是彼問題的開始。可以這樣說，傳統應用題僅僅是運用數學知識解決人為編造的、有明確結果的“問題”，而“問題解決”中的“問題”，不僅鍛煉學生運用數學知識的能力，還鍛煉學生運用數學觀點、意識、思想解決問題的能力，對于學生的應用意識、創新意識的發展很有價值。

《中國教師》：“問題解決”與課程目標“四基”的“基本思想”“基本活動經驗”及“核心概念”之間有著什么樣的聯系？

胡趙云：2011年課程標準中，明確指出問題解決有以下四個方面：

●初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力。

●獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識。

●學會與他人合作交流。

●初步形成評價與反思的意識。

從上述表述可以看出，具有良好的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗是實現問題解決目標的基礎，重視加強問題解決能有效地增強應用意識，發展創新意識。特別要提出，問題解決經驗的積累往往要通過學生參與的、有效的教學活動才能實現。而一個人能夠發現、提出新問題正是創新型人才的基本要求。以基礎知識、基本技能的教學為載體，培養學生良好的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀等，可以幫助學生從表面上看來沒有關系的一些現象中找到數量或空間方面的某些聯系或某些矛盾，并將這些聯系或矛盾提煉出來，用數學語言、數學符號以問題的形態表述出來，即提出問題。同樣，以基礎知識、基本技能的教學為載體，培養學生良好的推理能力、模型思想、運算能力與思維能力等，可以幫助學生有效地分析問題、尋求解決問題的策略與方法。正如2011年版課程標準所指出的知識技能、數學思考、問題解決、情感態度，“這些目標的整體實現，是學生受到良好數學教育的標志，它對學生的全面、持續、和諧發展有著重要的意義”。

《中國教師》：既然問題解決能力對于發展學生的應用意識與創新意識很有價值，那么在具體教學中怎樣做才能實現問題解決的目標？請您給一線教師提出一些具體的建議。

胡趙云：首先，教科書的編寫要為問題解決提供好的素材與呈現方式。“教材應選用合適的學習素材，介紹知識的背景；設計必要的數學活動，讓學生通過觀摩、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感悟知識形成和應用”。這樣的方式對“提高解決問題的能力有著重要的作用”。比如，北師大版的初中數學教科書“力圖采用‘問題情境—建立模型—解釋，應用和拓展的模式展開，對于新知識的學習都以對相關問題情境的研究作為開始”，這就是一個很好的形式。

其次，教師要提升執教問題解決的能力。我們的教師習慣于對給定的問題進行分析，予以解決，而對于怎樣選擇合適的情境，怎樣呈現教學內容，怎樣開展組織教學才能利于學生發現問題、提出問題的教學模式相對陌生。教師要加強這些方面的學習、交流與研討。發揮集體備課的作用是一個不錯的選擇。

再次，在平時課堂教學中，要關注以下幾方面。

第一，要積極引導學生參與教學過程，不要以簡單地、重復地多題講練代替教學。在平時課堂教學中不乏以講題、做題，依靠大量練習為特征的、簡單的、應試性的教學形式。這種形式自然不利于培養學生問題解決的能力，并且，從應試成績的角度來看，也未必是好的方法。

第二，要重視積累現實生活的經驗，不要簡單地以題型套公式的方式代替現實問題的教學。我國各版本的教材都不同程度地沿用了傳統的應用題，如果教師能夠采用好的教學方法使用這些應用題的話，在一定程度上，可以培養學生運用數學知識分析、解決問題的能力。這就要求教師在應用題教學中摒棄簡單的歸類題型、套用公式的教學方式。對于任何形式的應用題，教師都要善于讓學生積累現實的生活經驗，理解其中蘊含的數量關系，能運用多種方式解決問題、反思問題解決的過程。如教學課例“打折促銷”[具體見《基礎教育課程》（2012.11）中《學法指引是學案設計永恒的追求》]，就是一個很好的典范。

第三，要重視落實問題解決方法（策略）的多樣性。在課程標準實驗稿中明確要求“形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性”，而2011年版課程標準中也同樣明確要求“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性”，這說明分析解決問題方法的多樣性在課程標準修訂過程中完整地延續著。但是在實際教學中，廣大教師對此缺乏必要的認識。例如，2011年浙江省衢州市初中數學畢業考試卷第21題，是一來自課本的略作改編的例題。

某花圃用花盆培育某種花苗，經過試驗發現每盆的盈利與每盆的株數構成一定的關系。每盆植入3株時，平均單株盈利3元；以同樣的栽培條件，若每盆每增加1株，平均單株盈利就減少0.5元。要使每盆的盈利達到10元，每盆應該植多少株？

小明的解法如下。

解：設每盆花苗增加x株，則每盆花苗有（x+3）株，平均單株盈利為（3-0.5x）元。

由題意，得（x+3）（3-0.5x）=10，

化簡，整理，得x2-3x+2=0，

解這個方程，得x1=1，x2=2。

答：要使每盆的盈利達到10元，每盆應該植入4株或5株。

（1）本題涉及的主要數量有每盆花苗株數，平均單株盈利，每盆花苗的盈利等，請寫出兩個不同的等量關系：

（2）請用一種與小明不相同的方法求解上述問題。

結果得分率為43.13%。事實上，該題可用算術、列表、圖像及函數等方法解決。這就需要廣大教師通過鉆研教科書、數學教學理論書籍來豐富自己的學科專業知識，培養學生從多個角度去分析問題和解決問題的能力。

第四，要讓課堂教學、數學知識的形成體現問題解決教學的全過程。2011年版課程標準對于課程內容的組織明確了三個關系：“要重視過程，處理好過程與結果的關系；要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系；要重視直接經驗，處理好直接經驗與間接經驗的關系。”這表明在數學知識形成的課堂教學中要關注過程、直觀、直接經驗的積累，這為在課堂教學中體現問題解決教學的全過程提供了依據。比如“勾股定理”的教學就是一個讓學生經歷問題解決的好素材。2011年版課程標準明確要求“探索勾股定理”，如何探索，各種版本教材對此處理各有不同，總感覺是很勉強地探索，師生總存在幾個困擾，如：研究直角三角形的邊與邊之間的關系怎么就想到要研究邊的平方，怎么教師會那么聰明就想到用網格幫助探索，等等。通常在學完等腰三角形、全等三角形后才學習直角三角形。教師不妨按照下列方式組織勾股定理的教學。

（1）發現問題

我們知道一個三角形的兩邊及夾角確定，這個三角形就確定了，那么一個直角三角形的兩直角邊確定就表明這個直角三角形已確定，也就是斜邊的長確定了。這能說明什么呢？

這表明一個直角三角形的斜邊長能由兩直角邊的長確定。說明斜邊與兩直角之間有關系，到底有什么樣的關系呢？我們怎樣才能發現它們的關系呢？

（2）提出問題

問題：Rt△ABC中，∠C=90°，問邊a，b，c之間有何關系？

（3）引導探索

可以讓學生做一些嘗試與否定的事。過去積累的經驗能幫我們研究這個問題嗎？沒有經驗可以借鑒，我們怎么辦？可以舉個具體、特殊、簡單的例子。

第一，從簡單的、特殊的入手。

問題1，已知Rt△ABC，∠C=90°。①若a=b=1，你能表示出含c的等式嗎？

問題1②若a=b=2，能表示出含c的等式嗎？

問題1③若a=1，b=2呢？

第二，引導分析。

問題1①②的條件有什么共同點？問題1①③的條件與①②有什么區別？

問題1①②的結果有什么共同點？c2=2，c2=8能讓我們想起什么？（可想起正方形面積）

對于問題1①，如何驗證以c為邊長的正方形的面積是否為2？（用拼圖或用網格幫助）

補問：你能用上述方法驗證問題1②的結論嗎？

加問：你有哪些方法知道正方形的面積為8？

追問：你能用上述方法幫助解決問題1③嗎？（c2=5）

補問：你有哪些方法知道正方形的面積為5？（學生可以發現下列方法，見圖1、圖2）

問題1④若a=2，b=3。你能求c嗎？（c2=13）

補問：你有哪些方法知道正方形的面積為13？

第三，提煉觀察。

問題2，梳理上述四個問題的邊長，并思考a，b，c之間有什么聯系？（聯系：a2+b2=c2）

第四，驗證結論。

問題3①在網格中能驗證嗎？對于上述問題，用網格，畫一畫 a2，b2（見圖3）。

問題3②在Rt△ABC中，∠C=90°。a=3，b=4，問c=？（方法1，用a2+b2=c2可求得c=5；方法2，用刻度尺量；方法3，用網格驗證。）

第五，結論一般化。

網格有局限性，對于非整數邊長的怎么辦？

問題4，對于Rt△ABC，∠C=90°，你能說明 a2+b2=c2正確嗎？

第五，要在綜合與實踐活動中，發展學生問題解決的能力。正如弗蘭登塔爾指出，“應用是不能從教應用中學會的，數學在自然界和社會中的一些應用不能只由教科書的作者或教師示范說明，而應該留給學生去再發現”。綜合與實踐活動正是學生去再發現的好去處。學期教學計劃中要安排好作業或利用假期的時間，讓學生以小組合作方式完成一些或專題性，或現實性，或生活性，或數學的課題學習是極為有意義的，如關注人口老齡化，學生最喜愛的電視節目（或運動），制作一個盡可能大的無蓋長方體盒子，探尋神奇的幻方，制作視力表，池塘里有多少條魚，設計遮陽篷，等等。在各種各樣的綜合與實踐活動中，學生必然要面臨現實的、生活的、數學的情境，經歷觀察、猜想、類比、發現問題的階段，通過思考、歸納、交流、提出問題，以調查、演算、制圖、推理、建模等方式分析解決問題，再交流反思，從而在現實中學會應用，在學會應用中發展創新意識。

（責任編輯：林靜）