與自然數(shù)有關(guān)的不等式的證明

李鳳娟

摘 要：近幾年高考題頻頻出現(xiàn)與自然數(shù)有關(guān)的不等式的證明，這類不等式的證明首先想到數(shù)學(xué)歸納法，但有些用數(shù)學(xué)歸納法得不到證明，比如2006年浙江高考20題，利用放縮法得到了證明，于是這類問題其他方法的掌握是必要的。以一個引例分別用數(shù)學(xué)歸納法、放縮法、構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性方法、構(gòu)造數(shù)列一對一比較的方法解決了這一問題。

關(guān)鍵詞：拓展；高三數(shù)學(xué)；自然數(shù)；證明

【教學(xué)目的】

1.拓展學(xué)生的思路，使學(xué)生對這一問題的處理方式多樣化.

2.學(xué)生對一些復(fù)雜的不等式總是摸不著頭腦，本案例的設(shè)計意在讓學(xué)生體會一些復(fù)雜的不等式都是由簡單不等式通過不等式的基本性質(zhì)構(gòu)造出來的，并不可怕，讓學(xué)生從心理上克服對這類問題的恐懼感，降低難度，最終解決這類問題.

“高三數(shù)學(xué)怎么上？”是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要話題.本文記錄了我的一堂高三復(fù)習(xí)課“與自然數(shù)有關(guān)的不等式的證明”的教學(xué)過程，并就此談一些感受.

【教學(xué)過程】

引入：請大家判斷這幾個不等式是否成立？

2>■ ■>■ ■>■

很顯然成立.

通過這幾個不等式，能得到更一般的結(jié)論嗎？

生1：不難發(fā)現(xiàn)：■>■

這個不等式成立嗎？

生2：成立。兩邊平方■>■

故成立.

很好，由這幾個不等式，大家能構(gòu)造出一些不等式嗎？

生3：2+■+■+…+■>■+■+■+…+■

還有嗎？

生4：2×■×■×…×■>■×■×■…×■

即得到2×■×■×…×■>■（n∈N*）

很顯然這兩個不等式都成立.

近幾年高考的最后一題經(jīng)常考查不等式與數(shù)列的綜合知識，學(xué)生對一些復(fù)雜的不等式總是摸不著頭腦，通過這樣的設(shè)計意在讓學(xué)生體會一些復(fù)雜的不等式都是由簡單不等式通過不等式的基本性質(zhì)構(gòu)造出來的，并不可怕，降低難度.

我們知道，不等式兩端都是n個式子的乘積，如果沒有前邊的鋪墊，能求出右端是哪n個式子的乘積嗎？

生5：引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造數(shù)列{bn}，使b1b2…bn=■

易得bn=■，故只需證■>■

即問題轉(zhuǎn)化為一對一的證明，這樣大大降低了難度.

那大家想想看，你還能用哪些其他方法證明這條不等式.

學(xué)生很自然會想到數(shù)學(xué)歸納法，找同學(xué)證明.

生6：證：（1）當(dāng)n=1時，顯然成立

（2）假設(shè)當(dāng)n=1時不等式成立，即2×■×■×…×■>■，

則當(dāng)n=k+1時，2×■×■×…×■×■>■×■=■

故只需證■>■即可，這樣就找到了核心命題.

只需證2（k+1）>■

只需證4k2+8k+4>4k2+8k+3

∵1>0成立，故2×■×■×…×■×■>■成立.

綜合（1）（2）知，不等式對任意n∈N*成立.

數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的常用方法，在由n=k到n=k+1地證明時往往可以使用分析法證明.但數(shù)學(xué)歸納法不能解決所有問題.

對于這種恒成立問題，大家還有其他想法嗎？引導(dǎo)學(xué)生用構(gòu)造數(shù)列，利用數(shù)列單調(diào)性來證.

生7：問題轉(zhuǎn)化為證■>1即可

令f（n）=■

f（1）=■>1，故只需證f（n）遞增即可.

■=■>1，故f（n）遞增.

或f（n+1）-f（n）=■-■=■×■>0，

故f（n）遞增.

太好了！

接下來引導(dǎo)學(xué)生由前面的（2n）2>（2n+1）（2n-1）？圯■>■

不等式左端有根號，若兩邊平方則只需證22×■2×■2×…×■2>2n+1即可，∵22×■2×■2×…×■2>3×■×■×■×■…×■×■>2n+1

故原不等式成立.

放縮法也能完成證明，放縮的目的是能求出這n個式子的乘積。

接下來我們看個練習(xí)：

證明：1+■+■+…+■<2■（n∈N*）

學(xué)生可能首先想到數(shù)學(xué)歸納法，利用投影儀展示學(xué)生的證明過程。然后追問，還有其他想法嗎？

學(xué)生8：數(shù)學(xué)歸納法.

學(xué)生9：構(gòu)造數(shù)列{bn}，使b1+b2+…+bn=2■

則bn=2■-2■，故只需證■<2■-2■

學(xué)生3：放縮法

■=■<■=2（■-■）

放縮的目的是什么？

生：求和.

很好，由前面的放縮，大家猜一下1+■+■+…+■會大于什么呢？

啟發(fā)學(xué)生由2（■-■）<■<2（■-■）得

2（■-1）<1+■+■+…■<2■（n∈N*）

通過這兩個題目讓學(xué)生充分掌握與自然數(shù)有關(guān)的不等式的證明的常用方法。

小結(jié)：與自然數(shù)有關(guān)的不等式的證明的常用方法：

（1）數(shù)學(xué)歸納法

（2）構(gòu)造數(shù)列一對一比較

（3）利用函數(shù)單調(diào)性

（4）放縮法

反思：通過這節(jié)課的復(fù)習(xí)，一是讓學(xué)生意識到很多復(fù)雜的不等式都是由簡單的不等式根據(jù)不等式的基本性質(zhì)構(gòu)造出來的，從心理上讓學(xué)生感覺沒那么困難。學(xué)生最先想到數(shù)學(xué)歸納法，但數(shù)學(xué)歸納法也是有局限性的，拓展一下學(xué)生的思路，還可以通過構(gòu)造數(shù)列轉(zhuǎn)化為一對一的比較，也可通過函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，其實不等式的本質(zhì)也就是兩個函數(shù)值比較大小。亦或通過放縮法實現(xiàn)證明，相對來講難度大些，因放縮要適度，否則放得太大或太小，都達(dá)不到目的。

參考文獻(xiàn)：

陳德華.與自然數(shù)n有關(guān)的不等式的幾種證明方法.新課程：教研，2010（08）.

（作者單位 浙江省溫州中學(xué)）