自動控制原理根軌跡分析法教學中的新思考

季畫 李素玲 邢雪寧

摘要：本文將MATLAB仿真軟件應用于《自動控制原理》課程根軌跡分析法的教學過程中，通過軟件仿真驗證得到結論：增加位置適當的開環零點，能夠顯著增加控制系統的穩定性和動態性能。為實際工程設計中根軌跡法校正提供了理論依據。

關鍵詞：自動控制原理；根軌跡分析法；MATLAB；開環零點

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）52-0116-02

自動控制原理是電氣自動化、機械工程等專業的一門重要的專業基礎課，同時也是各高校相關專業研究生考試的專業課之一。該課程主要研究自動控制系統的一般規律，要求學生掌握兩方面的任務：控制系統分析和控制系統設計。控制系統分析是在建立系統數學模型的基礎上，利用各種系統分析方法得到系統的運動規律及運動性能，包括定性分析和定量計算。控制系統設計就是要尋找一個能夠實現所要求性能的控制系統。其中，控制系統的三大分析方法：時域分析法、根軌跡分析法和頻域分析法貫穿于整個自動控制原理的教學當中。課程內容具有較強的理論性和抽象性，同時涉及到的數學知識較多，計算繁雜，使學生學習時難于理解，容易產生厭學情緒。目前最流行的MTALAB仿真軟件可以方便地完成控制系統建模、系統分析和系統設計中各種復雜的數學計算，實現控制系統的仿真運行。因此，我們將其引入到課堂教學過程中，通過實際控制工程案例的MATLAB仿真，大大激發了學生學習的興趣，從而提高了自動控制原理的課堂教學質量。作為三大分析方法之一的根軌跡分析法是分析和設計線性定常控制系統的圖解方法，在控制工程中得到了廣泛的應用。控制系統閉環傳遞函數的極點決定了閉環控制系統的穩定性，同時系統的瞬態響應的基本特征也是由閉環極點起主導作用。根軌跡法根據反饋控制系統的開環傳遞函數與其閉環特征方程之間的內在聯系，給出了一種簡單實用的求取閉環特征根的圖解方法：即已知系統的開環傳遞函數，當其中某一個參數進行變化時，繪制閉環極點在復平面上所走過的軌跡。根據繪制根軌跡的八條基本法則，我們能很容易的繪制出系統相應的根軌跡圖，這是進行根軌跡分析的前提條件，要求根軌跡圖的繪制必須要準確無誤。接下來的工作就是通過根軌跡法來分析系統的性能。我們知道，在經典控制理論中，控制系統的性能，即控制系統設計的重要評價取決于系統的階躍響應。控制系統閉環極點的分布決定著階躍響應的類型，而閉環零點的分布影響著階躍響應的形狀。因此根軌跡分析法首先進行的是閉環零、極點分布與階躍響應的定性分析。同時，由根軌跡的繪制法則可知，系統根軌跡的形狀、位置完全取決于系統的開環零、極點的分布。因此可通過增加開環零、極點的方法來改造根軌跡。本文主要借助于MATLAB仿真軟件，通過增加控制系統開環零點的方法來分析其對根軌跡及系統性能的影響。使用MATLAB的根軌跡繪圖函數rlocus，不僅可以使控制系統的根軌跡作圖清楚準確，而且非常方便。

例1：一單位負反饋系統的開環傳遞函數為：Gk（s）■。

繪制常規根軌跡如圖1（a）所示。此時系統起始于坐標原點的兩條根軌跡始終位于右半S平面，原系統不穩定。

分別增加開環零點z=-2、z=-0.5和z=0，增加的開環零點從負實軸方向依次向坐標原點靠近，相應的根軌跡如圖1（b）、（c）、（d）所示。從圖中可以看出，增加開環零點，改變了實軸上根軌跡的分布，使根軌跡的走向向左偏移，提高了系統的穩定程度，而且所增加的零點越靠近原點，這種作用越大。

由于控制系統的動態性能取決于系統的階躍響應，因此使用MATLAB繪制系統單位階躍響應函數step繪制出（c）和（d）兩種穩定情況下系統的單位階躍響應曲線，如圖2所示。

從圖2中可以看出，增加開環零點，能夠改善系統的動態性能。而且，（d）系統與（c）系統相比，明顯調節時間減小，超調量降低。因此，文獻[1]中指出，增加系統開環零點對改善系統動態性能的作用隨著其本身接近坐標原點的程度而加強。但筆者認為此結論適合例1系統，但不能推廣到任意系統中。為了進行驗證，再看一個實例。

例2：一單位負反饋系統的開環傳遞函數為：Gk（s）■，分別增加開環零點：z=-3、z=-1.5和z=-0.5，用MATLAB繪制出四種情況下系統的根軌跡圖如圖3所示。

從圖3中可以看出增加開環零點提高了系統的穩定程度，從原來條件穩定的系統改善為完全穩定的系統，而且所增加的零點越靠近原點，這種作用越大。此結論與例1得出的結論一致。使用MATLAB/simulink得到（b）、（c）、（d）三種穩定情況下系統的單位階躍響應曲線，如圖4所示。從圖中可以看出，（c）系統的調節時間最短，超調量最小，因此動態性能最優，但對應的所增加的開環零點卻不是離原點最近的情況。

因此，通過MATLAB仿真軟件的驗證，我們可以得出這樣的結論：只要增加位置適當的開環零點，就能使閉環控制系統的穩定性和動態性能得到顯著的增加。此結論為實際工程設計中如何合理地設計校正裝置，使系統的性能能夠滿足技術上的要求提供了理論依據。

參考文獻：

[1]胡壽松.自動控制原理[M].第四版.北京：科學出版社，2001.

[2]李素玲，胡建，王敏.自動控制原理[M].西安：西安電子科技大學出版社，2005.

[3]孫亮.MATLAB語言與控制系統仿真[M].北京：北京工業大學出版社，2006.

[4]薛定宇.控制系統計算機輔助設計—MATLAB語言與應用[M].北京：清華大學出版社，2006.

作者簡介：季畫（1977-），山東青島人，講師，從事自動化方面的研究與教學工作。