機械原理與理論力學中運動學部分的比較與總結

方俊 吳小平

摘要：本文筆者通過對機械原理與理論力學中運動學部分的比較，總結并反思了機械原理教材中對運動學問題表述方式與求解方法中存在的缺陷；對機械系專業課程與基礎課程內容的銜接以及教學方法的改革提出了自己的見解。

關鍵詞：機械原理；理論力學；運動學

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）52-0096-02

普通高等工科院校機械類各專業所學的《機械原理》課程，內容一般可以歸納為三個部分：機構的結構、機構的運動學以及機器動力學。而其中機構的運動學部分，主要研究了機構各點的軌跡、位移、速度、加速度的求法和機構的運動規律，這與《理論力學》中的運動學部分所研究的內容是一致的。從課程間的關系上看，《機械原理》原本就是以《理論力學》[1]為基礎的，因此對于運動學的研究方法和思想也應該是一致的；但事實上，國內大部分機械原理教材對于運動學問題的求解方法與理論力學還是有一些區別的，下面我們將舉例詳細說明。以組成移動副的兩構件重合點間的速度和加速度的求法為例，如圖1（a）中的四桿機構，已知機構的位置、各構件長度及構件1的等角速度ω1，求構件3的角速度ω3和角加速度ε3（為表述方便，所有符號以《機械原理》教材為準[2]）。

一、從速度分析看相對運動原理的不同描述

首先看《機械原理》對該問題中相對運動的分析方法：圖1中構件2和3組成移動副，構件2上的點B2與構件3上的點B3為組成移動副兩構件的重合點，因此可以根據相對運動原理列出相對速度和相對加速度矢量方程式。已知構件1上B的速度為vB1=ω1lAB，方向垂直于AB且指向與ω1轉向一致；由于構件1、2用轉動副B相聯，因此vB1=vB2，構件2、3組成移動副，其重合點B的相對速度矢量方程式為：■=■+■（1）式中■為點B3相對于點B2的運動速度，該矢量等式中僅■與■的大小未知，故可畫出速度多邊形，如圖1（b）所示。接下來通過解三角形或者按速度比例尺作圖便可求出■的大小，進而解得構件3的角速度ω3。可以看出，這種方法是以B2為參考點所列出的速度矢量方程，用《理論力學》中點的合成運動理論來解釋，就是以B3為動點，并將動系固結在構件2上，此時的點B2實際上就是牽連運動中與動系固結的“牽連點”，因此■就是牽連速度■，■相對速度■，■則是絕對速度■，這就滿足了點的速度合成定理■=■+■。但是理論力學在解決該類問題的時候，更習慣于以B2為動點，將動系固結到構件3上。這樣做的優點，不僅絕對運動中動點的速度和軌跡比較容易確定，而且牽連運動的形式也更容易判斷（動系作定軸轉動），牽連點則是任意時刻BC桿上與B2重合的點，該瞬時就是點B3。此時的速度矢量方程可以寫成：■=■+■（2）式中■為動點B2相對于牽連點B3的運動速度，即相對速度■，此時速度合成示意圖如圖1（c）所示。由此可以看出，用點的合成運動思想去描述相對運動原理，將復雜運動分解為絕對運動、相對運動和牽連運動，可以使問題簡化，思路更為清晰，更容易被接受。

二、從加速度分析看圖解法與投影法解矢量方程的區別

接下來我們看《機械原理》對該問題中加速度的分析，為保持前后一致，在這里同樣以B2為參考點列出加速度矢量方程：■=■+■+■由于點B3作曲線運動，因此加速度■+■=■，故原式可以寫成：■+■=■+■+■（3）式中■和■分別是點B3的法向和切向加速度，這部分是絕對加速度■；■ 是牽連點B2的法向加速度，即牽連加速度■；■為點B3相對于B2的加速度，即相對加速度■（由于相對運動是直線運動，因此只有一個加速度分量）；■為科氏加速度，它是由于動系發生轉動而產生的。該矢量等式中已知各矢量的方向和大小如下表所示。

從表中可以看出，上面的矢量方程式中只有■和■的大小未知，其他參數均為已知，因此該方程可解。下面我們用兩種方法來求解這個矢量方程。

1.圖解法。《機械原理》教材中一般都是用圖解法來求解矢量方程，如圖2（a）所示，從任意極點π連續作矢量πb2'和b2'k'分別代表■和■，其加速度比例尺μa=aB2/πb'2（m/s2/mm）；再過點π作矢量πb3''代表■，然后過點k'作直線 k'b'3平行于線段CB3代表■的方向線，并過點b''3作直線b3''b3'垂直于線段CB3，代表■的方向線，它們相交于b'3，則矢量πb3'便代表■。通過測量與計算可以求得構件3的角加速度為：ε3=atB3/lCB=μab''3b'3/μ1CB3，

2.投影法。《理論力學》在求解矢量方程時，當方程中矢量的個數超過3個，一般都采用投影法，將矢量等式轉化為標量等式后求解。如圖2（b）所示，首先將矢量方程中的所有矢量移到同一點，由于■和■大小未知，無法確定其指向（正負），可以先按圖中假設的方向處理。想要求出構件3的角加速度ε3，只需要解出■的大小即可，下面將該矢量方程向BC的垂線方向投影（如圖中紅色虛線所示），轉化后的代數方程如下：0+■=aB2cosθ-ak■+0 （4）式中θ為■與投影軸的夾角。可以看出，該方程只包含未知數at■而不含另一個未知數ar■，因此可以直接求出所需的結果：ε3=■=■=■（5）從上面這個例子我們可以看出，兩種方法求解矢量方程各有優劣：圖解法求解結構的位置、速度和加速度較為形象直觀，但作圖煩瑣，精度較低；投影法所得的結果是解析解，不僅能滿足精度要求，而且能反應各參量之間的函數關系，但是在投影轉化為代數方程的時候可能會出現多元方程組，增加求解難度，如果合理選擇投影軸，就可以減少方程中未知數的個數，從而使問題簡化。

三、結論

1.《機械原理》與《理論力學》在運動學分析上采用了不同的方法，對一般學生來說，不能起到舉一反三的作用，反而容易發生概念混淆；只有將機械原理教材對于運動學問題的求解方法與理論力學一致起來，才能做到從基礎到應用的一致性；

2.《機械原理》中的圖解法雖然較為直觀，但思想方法與表述上都跟理論力學有一定的差別，且作圖比較煩瑣、精度差，對復雜機械分析時尤為困難。在計算機不發達的過去，不失為一種較為便捷的求解矢量方程的方法；但現如今計算機應用已經相當普遍，這就使得投影法成為一種更精確、更高效、更實用的求解方法。此外，當機構由二維擴展到三維時，相應的運動學矢量方程就成為了空間矢量方程，這時候圖解法將不具備可操作性，而只能使用投影法進行分析。由以上分析，我們認為《機械原理》中的運動學分析方法必須跟《理論力學》中的對應內容保持一致。在分析機構運動的過程中，可以把圖解法、矢量投影法、和計算機求解等知識一并納入教學，讓學生對同一內容有更加深刻全面的認識，從而使獨立分析問題的能力大大增強。

參考文獻：

[1]哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學Ⅰ[M].第七版.北京：高等教育出版社，2009.

[2]王華坤.機械設計基礎[M].南京理工大學，2000.

作者簡介：方俊（1986-），男，江蘇南通人，南京理工大學紫金學院助教，碩士，主要從事專業教學及有限元分析、力學分析、熱固耦合等方面的研究工作。