兩個值得商榷的高中數(shù)學(xué)教材中的概念

周宇劍 譚冰

摘要：本文對二元一次不等式及二元一次不等式組的概念進行了簡要辨析，有利于教師在教學(xué)中準確把握，有助于學(xué)生對這兩個概念的理解與應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：二元一次；不等式；不等式組

中圖分類號：G632 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）52-0092-02

人教A版《數(shù)學(xué)必修5》的3.3二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題一節(jié)中，有兩個概念：把含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式。由幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。[1]這兩個概念容易讓學(xué)生引起認識上的混亂。

按照上述概念，xy+5x-3y<7、2xy-3y≥-7等都是二元一次不等式。不等式組x-2y+5>32y+5t-7<14x+4t-1≥3m+n≤4可視為二元一次不等式組，不等式組x-2y+5>32y<5x≥3、2y<5x≥3、x≥-1y<5x≤3y>-2卻不是二元一次不等式組。顯然，這都和事實不相符。因此，筆者認為這兩個概念值得商榷。

從教材的銜接和思維的嚴謹性來看，教材中的這兩個概念需要進一步完善。最新的湘教版初中教材有這些概念：含有兩個未知數(shù)（二元），并且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程為二元一次方程。把兩個含有相同未知數(shù)的二元一次方程（或者一個二元一次方程，一個一元一次方程）聯(lián)立起來，組成的方程組，叫做二元一次方程組。[2]含有三個未知數(shù)，每個方程中含有未知數(shù)的項的次數(shù)均為1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組。[3]并且該課本中的三元一次方程組的練習(xí)中出現(xiàn)了方程組x+y=72y+z=6x-z=7和 3x-2z=13z+2y=23y-x=-18。既然上述方程組算作三元一次方程組，那么由類比推理，不等式組2y<5x≥3也可算作二元一次不等式組。由于二元一次不等式（組）的概念是在高中學(xué)的，而一元一次不等式（組）是在初中學(xué)的。且都是在一元一次方程與二元一次方程的學(xué)習(xí)之后。按初中教材的編排，一元一次不等式的概念與解法都是類比于一元一次方程得出的。故二元一次不等式（組）的概念應(yīng)該也與二元一次方程（組）的概念在某種認識上要達成一致，這樣，才不至于產(chǎn)生矛盾，讓人懷疑概念的嚴謹性、連貫性與正確性。從教材編排的體系和意圖來看，二元一次不等式（組）的知識點放在簡單的線性規(guī)劃問題前面呈現(xiàn)。也就是說是利用線性關(guān)系來解決規(guī)劃問題的。而只有未知項的次數(shù)是1次的二元不等式才能體現(xiàn)出線性關(guān)系。未知數(shù)的次數(shù)是1的二元不等式如xy<1就能體現(xiàn)出兩個未知數(shù)之間是線性關(guān)系。從概念的內(nèi)涵與外延來看，教材中的二元一次不等式的概念的內(nèi)涵被縮小，因而外延被擴大。我們需要認識“未知數(shù)的次數(shù)為1”與“未知項的次數(shù)為1”的含義。“未知數(shù)的次數(shù)為1”意思很清楚，只要未知數(shù)的次數(shù)為1就行，但未知數(shù)的次數(shù)為1，并不保證含該未知數(shù)的項的次數(shù)為1。而“未知項的次數(shù)為1”意為含未知數(shù)的項的次數(shù)為1，不但包括未知數(shù)的次數(shù)一定為1的意思，而且排除了含未知數(shù)的項的次數(shù)不為1的不等式。同時它還隱含了一個條件，就是該項必須是整式，只有整式才談得上次數(shù)，對于分式和根式等是沒有次數(shù)而言的。如在不等式xy-x>7中，xy與x都是含未知數(shù)的項，xy這一項含有兩個未知數(shù)，并且每個未知數(shù)的次數(shù)都是1次，但該項的次數(shù)卻是2次；這一項的次數(shù)是1次，該項的次數(shù)也為1次。而■是分式，■是根式，這些項都不存在次數(shù)之說。

綜上所述，二元一次不等式的概念可為：把含有兩個未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式。二元一次不等式組的概念可為：共含兩個未知數(shù)且每個不等式中含有未知數(shù)的項的次數(shù)均為1的幾個不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。這樣一來，xy+5x-3y<7與2xy-3y≥-7就不是二元一次不等式了。不等式組x-2y+5>32y+5t-7<14x+4t-1≥3m+n≤4雖然都由二元一次不等式組成，但由于不同的不等式所包含的未知量不同，因而包含的未知數(shù)的個數(shù)就不再是兩個，而是包含5個未知數(shù)，因而該不等式組不是二元一次不等式組。不等式組x-2y+5>32y<5x≥3與x≥-1y<5x≤3y>-2可算作二元一次不等式組。同時，形如■-3y≥-7的不等式也不是二元一次不等式，因為其中的■中未知數(shù)x的次數(shù)并不是1次。

由于二元一次不等式（組）在線性規(guī)劃問題一節(jié)中提出，必須讓學(xué)生理解這兩個概念，這樣，他們才能清楚在何種情況下可以運用線性規(guī)劃解決問題。教學(xué)過程中，在呈現(xiàn)出相關(guān)的二元一次不等式（組）的概念后，為了讓學(xué)生對概念有清楚地認識和理解，可以設(shè)計如下概念辨析題，促進學(xué)生對這兩個概念的認識。

例1.判斷以下不等式是否為二元一次不等式？并說明理由。

（1）2x-y2<-6 （2）2x-x>7 （3）2x-y<5

（4）2xy-3x>4 （5）■-3x>4 （6）■>4

例2.判斷以下不等式組是否為二元一次不等式組？并說明理由。

（1）x-3y<-32y<4x≥-3 （2）x>0y≤2x<6y>-2 （3）x>0y≤2t<6 （4）x>0y-5t≤2

（5）x-y>0y+■≤2 （6）■>5 y-x≤2

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書A版數(shù)學(xué)必修5[M].北京：人民教育出版社，2007：82.

[2]嚴士健，黃楚芳.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七年級下冊[M].長沙：湖南教育出版社，2003年11月第一版，2012年12月第2版：3.

[3]嚴士健，黃楚芳.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七年級下冊[M].長沙：湖南教育出版社，2003年11月第一版，2012年12月第2版：21.