淺談積分學中的共性

張雨田

摘要：筆者通過比較各類積分的基本概念、運算性質、計算方法及技巧，幫助同學們更深刻地認識到不同類型的積分之間存在著某些共性，從而有利于學生記憶和熟練掌握多元函數積分。

關鍵詞：積分；類比；共性

中圖分類號：O172.2 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）52-0090-03

積分學是高等數學教學內容中的重要組成部分，包括定積分，二重積分、三重積分、曲線積分（第一型與第二型）和曲面積分（第一型與第二型）。眾多學生在學完高等數學全部內容后，都會有這樣的感想：在學習積分的過程中，數學符號描述得越來越煩瑣，概念表述得越來越抽象，計算演變得越來越復雜。一般情況下，同學們在初學定積分時會認為較容易，在接觸二重積分時感覺還能接受，但在會晤三重積分時，就會產生些許距離。更甚的是，部分同學在學習完曲線積分和曲面積分后，某些情況下經常會同定積分和重積分混淆不清，從而導致計算方法的張冠李戴。事實上，不論是定積分，或是重積分，還是曲線（面）積分，它們同屬積分學的分支，在許多方面都具有共性，找到這些共性，然后運用類比的方法進行學習研究，有助于我們更好地理解相關知識。

一、概念的類比

積分學的思想源于采用“元素法”求物理量。具體步驟分為四步：分割、取近似、求和、取極限。運用這一思想，我們解決了曲邊梯形面積的求解問題，并抽象為數學語言，提出了定積分這一概念。曲邊梯形的面積便是定積分的幾何意義，而不均勻（密度不同）的直線型導線的質量則是定積分的物理意義?；诙ǚe分的物理意義，從物體的幾何形狀出發，我們的研究對象可作如下演化：導線質量→薄片質量→空間立體物體質量，其中，導線質量又分為直線型導線質量和曲線型導線質量，而薄片質量可分為平面薄片質量和曲面薄片質量。類似于定積分的提出，運用“分割、取近似、求和、取極限”的方法，可以用數學式子表示出不均勻曲線型導線、平面薄片、曲面薄片和空間物體的質量，分別抽象為數學語言即為我們所學的第一型曲線積分、二重積分、第一型曲面積分和三重積分。不難發現：定積分、二重積分、三重積分、第一型曲線積分和第一型曲面積分的物理意義都是不均勻的物體質量，區別在于對象不同。

二、性質的類比

假設：被積函數在積分范圍內均連續。則對于定積分，有：

（1）■αf（x）+βg（x）dx=α■f（x）dx+β■g（x）dx

（2）■dx=b-a （3）■f（x）dx=f（ξ）（b-a），ξ∈（a，b）

通過類比，不難聯想到關于二重積分有：

（4）■αf（x，y）+βg（x，y）dσ=α■f（x，y）dσ+

β■g（x，y）dσ

（5）■dσ=SD （6）■f（x，y）dσ=f（ξ，η）SD，（ξ，η）∈D

對于三重積分有：

（7）■αf（x，y，z）+βg（x，y，z）dv=α■f（x，y，z）dv+

β■g（x，y，z）dv （8）■dv=VΩ

（9）■f（x，y，z）dv=f（ξ，η，ζ）VΩ，（ξ，η，ζ）∈Ω

對于第一型曲線積分有：

（10）■（k■f（x，y）+k■g（x，y））ds=k■■f（x，y）ds+

k■■g（x，y）ds）

（11）■1ds=L0 （12）■f（x，y）ds=f（ξ，η）L0，（ξ，η）∈L

對于第一型曲面積分有：

（13）■∑（k■f（x，y，z）+k■g（x，y，z））dS=k■■∑f（x，y，z）dS+k2■∑g（x，y，z）dS

（14）■∑dS=A，（15）■∑f（x，y，z）dS=f（ξ，η，ζ）A，

（ξ，η，ζ）∈Σ

定積分、重積分、第一型曲線（面）積分均滿足線性運算性質、中值定理。并且，當被積函數為1時，相應的積分值均只與積分區域有關，或是積分直（曲）線段的長度，或是積分平（曲）面薄片的面積，又或是積分立體物體的體積。

三、計算方法的類比

定積分的計算較簡單，主要工具是萊布尼茨公式，而重積分、曲線積分和曲面積分的計算較復雜，但最終均需轉化為定積分。

1.重積分的計算。重積分計算較復雜，主要思想是根據積分區域的特點，并結合被積函數的特征將重積分轉化為幾次定積分，也稱為累次積分。同學們往往在將重積分轉化為累次積分的過程中感到棘手。事實上，無論是將二重積分或是三重積分轉化為累次積分，其基本原則是一致的，即在轉化的過程中要保證“積分區域中點的遍歷性”。如何做到這點？因為重積分的變量有多個，所以不宜對于所有變量同時進行動態考慮。能想到的方法是：在固定其中某些個變量的前提下，再來觀察剩余的變量的動態變化。這是我們轉化重積分為累次積分的核心思想。將二重積分轉化為累次積分的步驟分三步：首先，找到積分區域D（平面中的有界閉區域）內其中一個變量（或x或y）的變化范圍。不失一般性，這里我們首先考慮變量x的取值范圍。具體實現方法為：將積分區域D投影到x軸上，得到投影區間Lx，而Lx即為變量x的取值范圍。然后，在積分區域D內先將變量x固定于某一定值，再看變量y的變化范圍。顯然，不同的x定值對應著不同的變量y的變化范圍。具體實現方法為：在投影區間Lx上任意取定一點，作等x線（平行于y軸的直線）穿透區域D，不同的點將會引出不同的穿透直線。最后，考慮這些不同的變量y的變化范圍是否能統一？即是否能用同一個數學式子表示出來？具體實現方法為：考慮對于不同的穿透直線，其穿透方式是否總是一致？即是否沿著同樣的曲線穿入，又沿著同樣的曲線穿出？如是，二重積分可直接轉化為二次定積分。如不是，則應劃分積分區域為幾個小區域，然后對于每個小區域再重新實施前面所提到的三步。類比地，我們可以聯想到將三重積分化為累次積分的方法：首先，找到積分區域Ω（空間中的有界閉區域）內其中兩個變量的變化范圍。不失一般性，這里我們首先考慮變量x和變量y的變化范圍。具體實現方法為：將積分區域Ω投影到xoy坐標面上，得到投影區域Dxy，而 即為變量Dxy和變量y的變化范圍。然后，在積分區域Ω內先將變量x及變量y固定，再看變量z的變化范圍。顯然，不同的固定實數對（x，y）將會對應著不同的變量z的變化范圍。具體實現方法為：在投影區域Dxy上任意取定一點，作等x且等y線（平行于z軸的直線）穿透區域Ω，不同的點將會引出不同的穿透直線。最后，考慮這些不同的變量z的變化范圍是否能統一？即是否能用同一個數學式子表示出來？具體實現方法為：考慮對于不同的穿透直線，其穿透方式是否總是一致？即是否沿著同樣的曲面穿入，又沿著同樣的曲面穿出？如是，三重積分的計算可轉化為先一（定積分），后二（二重積分）的計算。如不是，則應劃分積分區域為幾個小區域，然后對于每個小區域再重新實施前面所提到的三步。

2.曲線積分和曲面積分的計算。曲線（曲面）積分的計算與重積分計算區別較大，主要原因是：積分范圍不同。重積分中積分區域是平面上的有界閉區域或是空間中的有界閉區域，積分變量之間的關系無法以函數形式表現；但曲線或曲面積分中的積分區域則是平面上的一段曲線或是空間中的一塊曲面，所以，多個積分變量必須協同滿足相應的曲線方程或曲面方程，從而結合弧長微分或曲面面積微分公式可以做到：減少積分變量的個數。具體地，可以將曲線積分轉化為定積分，可以將曲面積分轉化為二重積分，再由二重積分的計算轉化為定積分。

四、計算簡化技巧的類比

在積分計算中，有一些常用的簡化技巧，較典型的是：當積分區域具有一定的對稱性時，可以根據被積函數的奇偶性作大大的簡化。下面，我們就定積分、重積分、第一型曲線積分和第一型曲面積分，對這一技巧作類比說明。

1.如果f（x）在[-a，a]是奇函數，有■f（x）dx=0；當被積函數是偶函數時，有■f（x）=2■f（x）dx。

2.如果積分區域D關于x軸對稱，則當被積函數f（x，y）關于變量y是奇函數時，有■f（x，y）dσ=0；當被積函數關于變量y是偶函數時，有■f（x，y）dσ=2■f（x，y）dσ，其中D1是區域D在x軸上側的部分。類似地，可討論積分區域關于y軸對稱的情形。

3.如果積分區域Ω關于xoy面對稱，則當被積函數f（x，y，z）關于變量z是奇函數時，有■f（x，y，z）dv=0；當被積函數關于變量z是偶函數時，有■f（x，y，z）dv=2■f（x，y，z）dv，其中Ω1是Ω在xoy面上方的部分。類似地，可討論積分區域關于 xoz面，yoz面對稱的情形。

4.如果積分曲線L關于x軸對稱，則當被積函數f（x，y）關于變量y是奇函數時，有■f（x，y）ds=0；當被積函數關于變量y是偶函數時，有■f（x，y）ds=2■f（x，y）ds，其中L1是L在上側的部分。類似地，可討論積分曲線關于y軸對稱的情形。

5.如果積分曲面Σ關于xoy面對稱，則當被積函數f（x，y，z）關于變量z是奇函數時，有■∑f（x，y，z）dS=0；當被積函數關于變量z是偶函數時，有■f（x，y，z）dS=2■f（x，y，z）dS，其中Σ1是Σ在xoy面上方的部分。類似地，可討論積分曲面關于 xoz面，yoz面對稱的情形。

通過以上關于各類積分概念、運算性質、計算方法及簡化技巧的類比，可以看到：不同類型的積分在許多方面都是具有共性的，包括概念的提出，滿足的運算性質及計算方法和技巧，把握住這些共性，可以更好的了解和掌握積分學。當然，在各類積分之間，絕對也存在著差異，欲了解差異是什么，則需先弄清引發差異的源頭。這里，大家可以考慮第一型曲線積分和第二型曲線積分的差異，本文不作闡述。