啟發式教學法在線性代數概念引入中的應用

姚斌 楊玲香

摘要：以矩陣的逆一節內容為教學實例，探討如何在《線性代數》課堂教學中運用啟發式教學法引入新的概念及相關理論，以激發學生的學習動機，啟發學生的數學思維，發展學生的數學思維能力，促進學生對數學本質的理解。

關鍵詞：線性代數；啟發式教學法；概念引入

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）52-0065-02

《線性代數》是高等院校工科學生的三門數學公共基礎課之一，與其他兩門數學課程（高等數學和概率論與數理統計）不同的是，這門課程的概念多、定理多、運算規律多，并且基本概念、理論和方法具有較強的邏輯性、抽象性和實用性。通過多年的教學工作，我們發現相當多的學生覺得課程內容過于枯燥、抽象，不理解其中概念及相關理論的來龍去脈，概念與概念之間的聯系與區別，只會簡單記憶概念、性質和公式，進行行列式、矩陣等的運算，而不知道如何運用《線性代數》的知識將各種實際問題抽象為一個線性代數問題并進行求解。如何將課程中抽象枯燥的概念生動形象地表達出來，產生相關理論的思想、方法和過程深入淺出地展現出來，讓學生易于理解和接受，并有意識地引導他們自己去發現概念與概念之間的聯系與區別，是《線性代數》課堂教學急需解決的問題。所謂啟發式教學法[1，2]，就是教師在教學過程中，能夠使學生通過自己的能動的思考活動，領會和理解教學內容，提高和發展其自立性和創造性，同時積極促進學生的思維活動，使他們對事物現象的本質能夠自主地、容易地把握和領會的教學方法。下面我們以戴斌祥老師主編的《線性代數》教材中第二章第三節矩陣的逆一節內容為教學實例，說明如何從教材內容、教學要求和學生的實際出發，在課堂教學中運用啟發式教學法引入新的概念及相關理論。

一、深挖教材內容，創設富有啟發性的數學問題情境

能否在學生的“最近發展區”內創設富有啟發性的數學問題情境，使問題情境與學生認知結構中的適當知識建立自然的、內在的邏輯聯系，從而激活學生的數學思維，最終生成有效的教學探索活動是數學課程開展啟發式教學成敗的關鍵。《線性代數》課程主要研究對象是線性方程組，主要研究內容是線性方程組解的存在性、解的個數和解的結構問題，研究工具包括行列式、矩陣和向量組。由于《線性代數》的概念、定理及性質較多，零散且繁雜，這就要求教師必須鉆研教材，立足于教學要求，以課程的主攻課題為研究主線，加強即將新學習內容與學生已有的認知結構之間的聯系，讓學生不斷地建立和改進課程知識結構網絡，促進學生對新學習內容本質的理解。教材第一章引入了行列式的定義，討論了行列式的性質和計算方法，并介紹了行列式的一個直接應用：克拉默法則。通過第一章的學習，學生明白了行列式起源于解線性方程組，應用行列式解線性方程組必須滿足克拉默法則的兩個前提：一是線性方程組的方程個數與未知數的個數要相等，二是線性方程組的系數行列式不等于零。同時，學生體會到由于計算行列式的方法比較靈活，計算工作量大，當系數行列式的階數較大時用克拉默法則解線性方程組是不適用的。教材第二章第一節從所要研究的一般的線性方程組（m個方程n個未知量）引入了矩陣的定義，第二節介紹了矩陣的五類運算：矩陣的加法、數與矩陣的乘法、矩陣與矩陣相乘、矩陣的轉置和方陣的行列式。到此為止，學生已經掌握了線性方程組的矩陣形式，明白了引入矩陣實際上是希望通過研究矩陣的相關理論進一步地討論線性方程組解的理論和方法。根據以上學生認知結構中已有的課程知識，為了在矩陣的逆這一節的課堂教學中開展啟發式教學，我們創設了如下數學問題情境：數的運算定義有加法、減法、乘法、除法，有了數的除法，一元一次方程ax=b，當a≠0時，方程的解可表示為x=b÷a，而矩陣的運算也定義有加法、減法、乘法，那么矩陣是否也可以定義一個除法，當矩陣方程AX=B滿足一定的條件時，方程的解可表示為X=B÷A。

二、精心設計教學過程，開展富有啟發性的課堂講授

啟發教學法倡導教師開展啟發式的講授，而不是教師簡單告訴、學生被動接受的灌輸式的講授。也就是說，在課堂講授中，要學習的主要數學內容雖然是以定論的形式呈現給學生，但教師不能徑直地告訴學生有待掌握的數學知識和解決問題的過程，然后學生消極旁觀地傾聽并進行簡單的記憶和模仿，而要引導學生使新學習的內容與已有認知結構中的適當知識建立內在的邏輯聯系，并對教師的講授做出自己的解釋，構建新知識的意義，以此加以內化，從而使新舊知識融為一體。這就要求教師以數學知識為載體，精心設計教學過程，使啟發指向數學思考過程和數學思維方法，并從中把握數學知識的本質。矩陣的逆這一節的主要數學內容教材是按如下順序安排的。

為了充分暴露數學思維過程，形成啟發態勢，我們以創設的數學問題情境為起點，對教材內容按照知識的發生發展及數學家的思維過程和思維方法進行教學法加工，引入教學內容中矩陣的逆矩陣及矩陣的伴隨矩陣這兩個重要概念。

1.矩陣的逆矩陣定義的引入。首先，回顧數的乘法與矩陣的乘法的異同，說明由于數的乘法滿足交換律，為此一元一次方程ax=b與xa=b同解，當a≠0時，方程的解可表示為x=b÷a，而矩陣的乘法不滿足交換律，矩陣方程AX=B與XA=B（假設AX和XA都滿足乘法定義）不一定同解，故無法找到直接定義矩陣除法的方法。另一方面，類比于數的除法是數的乘法的逆運算，b÷a=b×■=b×a-1，啟發學生通過定義矩陣的逆，并結合矩陣的乘法間接實現矩陣的除法去求解相應的矩陣方程，即當矩陣A滿足一定的條件時，矩陣方程AX=B與XA=B的解可分別表示為X=A-1×B和X=B×A-1。通過這樣的討論，學生很容易就明白了為什么要定義矩陣的逆，而沒有定義矩陣的除法。與此同時，原來創設的如何定義矩陣除法的數學問題情境也順利轉化為如何定義矩陣的逆。然后，類比于數的逆運算，當a≠0時，數a的逆a-1存在，且滿足aa-1=a-1a=1，并聯想到矩陣運算中單位矩陣的作用類似于數的運算中1的作用，結合正反兩方面的實例，啟發學生發現不是所有的矩陣都存在逆矩陣，只有矩陣是方陣時才可能存在逆矩陣，方陣A的逆矩陣A-1存在時滿足方程AA-1=A-1A=E。最后，給出方陣的逆矩陣的存在性定義，并把如何定義矩陣的逆的數學問題情境進一步轉化為方陣滿足什么樣的條件才存在逆矩陣，存在時又如何求它。

2.矩陣的伴隨矩陣定義的引入。首先，由數a的逆a-1存在的充分必要條件是a≠0和任何一個方陣A可通過行列式運算對應到一個數|A|上，啟發學生產生方陣A的逆矩陣A-1存在的充分必要條件是|A|≠0的猜想。然后，引導學生證明該猜想。必要性的證明由逆矩陣A-1存在時滿足的方程AA-1=A-1A=E兩邊同時取行列式運算即能得到。充分性的證明，可引導學生依據方陣的逆矩陣的存在性定義和矩陣的乘法定義具體化為：在方陣A=（aij）n的行列式|A|≠0的條件下，一定能夠找到一個方陣B=（bij）n，使得■a■b■=1，i=j0，i≠j。接著，回顧行列式|A|的代數余子式Aij的性質■a■A■=|A|，i=j0，i≠j，并將其與■a■b■=1，i=j0，i≠j進行比較，啟發學生發現當|A|≠0時，方陣B一定存在且B=（bij）n=■■=■=■。此時，猜想得到證實，并進一步得到方陣A的逆矩陣A-1存在時A-1=■。最后，引入方陣A=（aij）n的伴隨矩陣A*=[（A■）n]'的概念，并給出伴隨矩陣的重要性質A*A=AA*=|A|E和伴隨矩陣描述下的矩陣可逆的充分必要條件及其證明過程。

參考文獻：

[1]鮑培文.線性代數啟發式教學改革的新思路[J].湘潭師范學院學報（自然科學版），2009，（31）.

[2]韓龍淑.數學啟發式教學研究[D].南京師范大學，2007：8-17.

基金項目：石河子大學教育教學改革項目（項目編號：JG-2012-163）

作者簡介：姚斌（1982-），男，江西萍鄉人，講師，碩士研究生，主要從事大學數學教學研究。

通訊作者：楊玲香（1982-），女，新疆伊犁人，講師，碩士研究生，主要從事大學數學教學研究。