關于烤盤最佳形狀選擇的研究

邱志昌 程龍 張寧

摘 要：該文是對2013年美國數學建模競賽A題的更深一步的討論，題目是如何在不烤焦蛋糕和最大利潤條件下優化確定烤蛋糕的烤盤最佳類型，而文章僅僅考慮在烤盤給定確定面積和蛋糕不烤焦的前提下，來確定烤盤的最佳形狀。蛋糕是否被烤焦取決于蛋糕中心達到相同溫度時所用時間長短，首先運用推導的熱穩態傳導公式，通過matlab的PDE工具箱繪出矩形的溫度分布圖，解釋了在蛋糕邊角上容易烤焦。烤盤外壁溫度分布類比恒溫條件下的球殼傳溫給出，蛋糕內部遵循熱傳遞，從高溫傳向低溫。文章將蛋糕離散化并結合元胞自動機模型，仿真得到了不同形狀的烤盤在中心達到相同溫度時蛋糕的溫度分布，并給出運行次數。仿真結果顯示圓形形狀烤盤運行次數僅為4374，次數最少，從而確定圓形烤盤是最佳選擇。

關鍵詞：熱傳遞 球殼傳溫 元胞自動機

中圖分類號：F203.9 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）02（c）-00-03

2013年美國數學建模競賽A題是對烤箱中烤盤的最佳形狀設計的探討。最佳形狀的設計要考慮兩個方面，一方面烤盤要盡量保證蛋糕不被烤焦，另一方面盡量充分利用烤箱的空間。為了簡化問題，文章忽略對烤箱空間利用率的考慮，僅僅考慮保證蛋糕不被烤焦的因素。

蛋糕在烤箱中加熱過程及其復雜，蛋糕被烤熟的過程中涉及到熱量的傳導、溫度的升高、水分的蒸發等一系列的變化，就熱量的傳導來說，就包括熱傳導、熱對流和熱輻射，假設烤箱內部的溫度是均勻分布的，將傳遞的熱量就需考慮熱傳遞。因不可能將所有因素量化來分析蛋糕的烤焦，類似熱流量的傳導，我們予以簡化，但主要影響因素是溫度的分布不均。文章通過降維的思想，將蛋糕烤焦的原因歸于蛋糕內外受熱不均勻。烤盤中的蛋糕只有上表面直接與烤箱中空氣接觸，其他5個面都是與烤盤壁直接接觸，通過烤盤壁與蛋糕之間的熱傳導加熱。食物通常是在外表面被烤焦，文章只需選取平行于烤盤的橫截面作為分析對象，考慮蛋糕內外溫差的持續時間以確定在相等面積下的最佳烤盤形狀。由于熱量是從外向內傳導，在蛋糕的外層存在局部溫度較高的情況。那么可能出現蛋糕內層被烤熟后，蛋糕外層已經被烤焦的現象。考慮到在烤蛋糕的最后，邊角總是焦的，為了之后更精確的仿真出蛋糕的傳熱，首先通過熱穩態傳導分析來解釋邊角烤焦的原因。基于此，文章認為一個較好形狀的烤盤是指蛋糕內部達到一定的溫度所用的時間較短，傳遞時間將通過元胞自動機仿真運行次數來反映。

1 熱穩態模型

蛋糕在烤盤中烘烤過程中的熱量傳導主要有兩個階段：首先是烤盤壁將熱量傳遞給蛋糕外層，其次是蛋糕內部的熱傳導。烤盤壁熱傳導系數較大，傳熱較快，烤盤壁相對較薄，文章可以認為烤盤內外壁的溫度相同。

運用熱穩態傳導模型給出蛋糕橫截面的溫度分布圖來說明拐角烤焦的原因。給出一般的熱傳導方程

其中表示溫度，溫度是x、y、z與t的函數，即，t表示時間。表示內部每單位容積熱產生率。c是比熱容，是常數，表示導熱系數。因為我們考慮的是穩態熱傳導的情況下，所以溫度對時間的偏導為零，將②式代入①式得到的二維穩態熱傳遞方程為

③式滿足橢圓偏微分方程的形式，稱為Possion方程。由于烤箱內溫度恒定，故為定值。

在面包熱傳導加熱中，對于給定的一個立方體的烤盤，烤盤的橫截面的溫度分布基本一致，從而只需求出某一橫截面的穩態溫度分布圖，以達到降維、簡化模型的目的。

通過matlab的PDE工具箱繪出矩形的溫度分布圖，得到溫度分布圖形如圖1。

結果評價：從圖中可以明顯看到在拐角區域的溫度最高，從外邊緣順著熱量傳遞方向溫度是遞減的，與生活中反映的現象一致，說明了建立的模型可信度較高，一定程度上解釋了矩形烤盤在拐角及少量邊緣處容易烤焦的現象。但模型僅僅是從穩態熱傳導角度來考慮溫度的分布，沒有考慮在從開始烘烤到烤熟整個過程各個階段溫度的分布。

在前面的模型中僅僅從溫度角度考慮了溫度高就容易燒焦，這樣的考慮是有缺陷的。因為如果在烤面包時，中心的溫度雖然比邊緣的溫度低，但是當過了時間t后中心的蛋糕已經熟了，蛋糕在邊緣區域還沒有燒焦，這樣雖然蛋糕的形狀不規則，但是仍然是一種較好的選擇。選出的形狀可以作為最后一問中優化問題中的一個不錯選擇。同時上述模型是在烤盤邊緣溫度恒定條件下建立的，只能解決像矩形這樣邊界恒溫的平壁傳導。這是因為對于矩形烤盤而言，空氣中的熱量是以平壁傳導的方式傳遞給烤盤壁，由于直線的曲率為零，對于矩形的每一條邊各個點的溫度是一樣的。

為此應用元寶自動機來改進上面的模型，在下面的模型中，著重考慮不同形狀的烤爐壁，即曲率對傳熱的影響，這樣就能更加精準的計算從烤爐壁各處每時刻傳遞給蛋糕的熱量，這樣考慮也更貼近生活。

2 元胞自動機仿真熱穩態模型

2.1 元胞自動機原理

元胞自動機是一種將空間與時間離散化的模型，能將一個連續的過程通過許多離散的網格表示出來。離散網格中每一元胞取有限的離散狀態，遵循相同的作用規則，在局部不斷更新。元胞自動機通常運用于信息傳遞、通信、生長與進化等領域，為復雜的現象提供有效的動態模型。

熱量的傳導是一個從高溫區域向低溫區域傳遞的連續過程。文章將熱傳導平面細化成細小的網格，熱量從橫截面四個面向內傳導，網格內溫度通過熱量的疊加的結果反映大小。

2.2 烤盤曲面溫度分布計算

為確定元胞自動機模型的邊界初始溫度，文章將烤盤類比為高光曲面模具在恒溫環境中的球殼傳溫，并引用溫度與曲率的方程。伍曉宇等（2012）通過實驗并擬合出溫度與曲率的方程。如下

所示：

該方程適用于平壁高光面。其中為某t時刻型面的溫度；為高光面殼的初始溫度；為對流介質溫度；和為方程系數；L為高光面殼厚度。

當烤盤出現光滑的曲線時，空氣對烤盤的熱傳遞可以看成是球殼傳熱。給定一個外界恒溫條件和時刻t，烤盤表面的各個點的溫度會隨著曲率的變化而變化，找出的公式如下

為時刻t 型面上曲率半徑為r的點的溫度；a b c d分別是方程系數。

為了給出同時具有平壁與曲線烤盤表面的溫度函數，可以將 ①與 ②兩個式子結合起來，給出一個式子如下

定義k為曲率影響系數，若k=0，則 ⑥轉化為 ④式。該文選取 烤盤初始溫度=25 ℃，烤箱溫度=200，=1.1925，烤盤壁厚度L=1 cm。

2.3 熱傳導規則

將蛋糕內部橫截面熱分布的二維空間網格化。熱量的傳導可以看成是在不同的網格之間的傳導。

① 每一小格的熱量只能從上下左右傳遞，不能斜向傳遞。

② 熱量總是從高溫區域向低溫區域傳遞。

③ 任一小格傳遞給周圍小格熱量后，溫度不能低于接受熱量小格的溫度。

對于規則的圖形表示，見圖a。其中 箭頭表示熱傳導>；表示紅色區域的溫度，表示黃色區域的溫度。

蛋糕外表面自接受來自四面烤盤外部的熱量后，從外向內擴散，距離邊界越遠，傳遞到的熱量越少。熱量總是從高溫區域楚傳向低溫區域。擴散的路徑如下圖所示。

2.4 仿真結果

文章選取生活中最常用的幾種常見的烤盤類型：圓形、矩形，通過元胞自動機模型對其進行仿真，仿真時間步長選取0.05。

3 結果分析

從上述五個圖看出圓形、橢圓、跑道形、圓角矩形和矩形烤盤在內部溫度達到相同溫度（60 ℃左右）時運行的次數依次是4374、8217、9234、10259、10627，選取次數最少的圓形作為最佳形狀，其傳熱最均勻。

另外通過仿真可以粗略的看出拐角處溫度較高，矩形表現得特別明顯，說明在該處蛋糕容易烤焦，那么在滿足需要對烤盤進行特殊設計時，應盡量避免出現類似矩形的拐角。

參考文獻

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