關于烤盤最佳形狀選擇的研究

邱志昌 程龍 張寧

摘 要：該文是對2013年美國數學建模競賽A題的更深一步的討論，題目是如何在不烤焦蛋糕和最大利潤條件下優化確定烤蛋糕的烤盤最佳類型，而文章僅僅考慮在烤盤給定確定面積和蛋糕不烤焦的前提下，來確定烤盤的最佳形狀。蛋糕是否被烤焦取決于蛋糕中心達到相同溫度時所用時間長短，首先運用推導的熱穩態傳導公式，通過matlab的PDE工具箱繪出矩形的溫度分布圖，解釋了在蛋糕邊角上容易烤焦。烤盤外壁溫度分布類比恒溫條件下的球殼傳溫給出，蛋糕內部遵循熱傳遞，從高溫傳向低溫。文章將蛋糕離散化并結合元胞自動機模型，仿真得到了不同形狀的烤盤在中心達到相同溫度時蛋糕的溫度分布，并給出運行次數。仿真結果顯示圓形形狀烤盤運行次數僅為4374，次數最少，從而確定圓形烤盤是最佳選擇。

關鍵詞：熱傳遞 球殼傳溫 元胞自動機

中圖分類號：F203.9 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）02（c）-00-03

2013年美國數學建模競賽A題是對烤箱中烤盤的最佳形狀設計的探討。最佳形狀的設計要考慮兩個方面，一方面烤盤要盡量保證蛋糕不被烤焦，另一方面盡量充分利用烤箱的空間。為了簡化問題，文章忽略對烤箱空間利用率的考慮，僅僅考慮保證蛋糕不被烤焦的因素。

蛋糕在烤箱中加熱過程及其復雜，蛋糕被烤熟的過程中涉及到熱量的傳導、溫度的升高、水分的蒸發等一系列的變化，就熱量的傳導來說，就包括熱傳導、熱對流和熱輻射，假設烤箱內部的溫度是均勻分布的，將傳遞的熱量就需考慮熱傳遞。……