基于分形迭代的圖像表達與構造方法

祝傳剛

摘 要：分形幾何可以準確地描述自然界里的復雜圖形，該文總結了分形圖像理論并利用計算機實現了圖像的仿真表達，提出了利用分形迭代參數表征圖像的方法，為目標匹配提供了新的思路。

關鍵詞：分形圖像 迭代函數系統 仿真

中圖分類號：TP311 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）02（c）-00-02

幾何學是研究物體形狀及其結構關系的一門自然學科，歐幾里德幾何學將物體簡化為簡單的點、線、面，并通過解析幾何對點、線、面進行公式化表述。大自然中廣泛存在的花草、山脈，河流、閃電、星系等客觀物體，其內部結構復雜多樣，變化無窮，利用傳統歐幾里德幾何學無法描述這些不規則物體或圖形，只得將這些自然形態的圖形標上“病態”標簽而加以排除，因此，傳統歐幾里得幾何理論做不到“放之四海而皆準”。1967年，美國的《科學》雜志上發表了一篇題為《英國的海岸線究竟有多長？》的論文。這篇論文對海岸線的本質作了獨特的分析：當你用一把固定長度的直尺來測量時，對海岸線上兩點間的小于尺子尺寸的曲線，只能用直線來近似，因此，測得的長度是不精確的。如果你用更小的尺子來刻畫這些細小之處，就會發現，這些細小之處同樣也是無數的曲線近似而成的，隨著你不停地縮短你的尺子，你發現的細小曲線就越多，你測得的曲線長度也就越大，如果尺子小到無限，測得的長度也是無限。海岸線的長度是多少取決于尺子的長短。

Mandelbrot指出：當采用不同尺度的尺子去測量海岸線長度時結果會不一樣，很顯然，歐幾里得幾何的長度概念在處理海岸線的長度時遇到了困難，1975年，Mandebrot提出用“Fractal”（分形）一詞來描述這種自然形態，分形的理論就此萌芽并迅速發展起來，曼德布羅特也自然而然地成為了分形理論的奠基人。曼德布羅特對分形的定義：”A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way.” 經過發展，分形幾何理論體系逐步得以確立。從分形研究的發展進程來看，許多概念諸如自仿射分形、自反演分形、遞歸分形、多重分形、胖分形等逐漸建立起來，標志著分形理論不斷走向繁榮[1]。

在自然科學中，具備分形特征的例子比比皆是，利用分形幾何理論可以實現對分形對象的準確描述，并可以利用計算機模擬出具備分形特征的物體或圖象，迭代函數系統（IFS）就是描述分形對象的有力工具[2]。

1 迭代函數系統的分形理論

定義1：度量空間與定義在其上的一有限個的壓縮映射族

組成一迭代函數系，記為IFS。

，若的壓縮比為，則

稱為IFS的壓縮比。

定理1 設是完備度量空間上的IFS，壓縮比為c的變換定義為：，

則為上的壓縮比為c的壓縮映射，即，則存在不變集，滿足

且，

定理1 中的不變集稱為該IFS的吸引子。

定理2 設為完備度量空間上的壓縮比為，則帶凝聚的雙曲IFS，變換定義為：

則是完備度量空間上帶有壓縮比為C的壓縮映射，即，且存在唯一的不動點

，則

2 迭代函數系統仿真

仿射變換是實現分形計算的重要方法，維歐幾里得空間中的仿射變換具有下面的形式：，其中是上的線性變換，而b是中的一個矢量。仿射變換可以使平移、旋轉、伸縮以及反射的組合[3]。

二維仿射變換為：，

其中，a，b，c，d，e，f為仿射變換矩陣元素，謝爾賓斯基三角形的仿射變換矩陣如表1所示，計算模擬結果如圖1所示。

圖1 謝爾賓斯基三角形的計算模擬結果（迭代次數分別為1，3，9次）

橛子樹的仿射變換矩陣如表2所示，計算模擬結果如圖2所示。

圖2 橛子樹的計算模擬結果（迭代次數分別為9次，18次，90次）

從模擬結果可以看出，在自仿射變換相關參數設定合理的情況下，計算模擬程序很好地模擬了謝爾賓斯基三角形和橛子樹的形狀，對其他分形圖像的模擬也取得了很好的結果。

3 結語

模擬結果表明，具備分形特征的圖像可以由少數幾個合理的參數進行表征，而自然界的圖像雖然不具備嚴格的自相似性，但都具備統計學自相似性或局部自相似性，因此，可以通過自仿射變換實現自然界實際圖像的壓縮。從軍事角度考慮，這些看似復雜的圖像，其信息量并不大，可以利用迭代系數對圖像目標進行自動識別，由于參數決定了圖像的細節，因此基于參數的圖像目標識別方法為目標自動識別提供了一條新途徑。

參考文獻

[1] 曹磊，韋惠.分形幾何的圖像壓縮研究[J].模式識別與人工智能，1994（2）.

[2] 張梁斌，周必水.自適應遺傳算法與分形圖像壓縮結合的新方法[J].計算機應用研究，2006（7）：249-252.

[3] 李丹，張梁斌.基于Jacquin分形法圖像編碼的matlab仿真實現[J].萬里學院學報，2011（5）：80-84.