CEV過程下脆弱期權定價研究

袁國軍　肖慶憲

摘要：考慮了CEV過程下含有交易對手違約風險的脆弱期權定價。根據無套利原理和偏微分方程方法，建立了CEV過程下脆弱期權定價模型，得到了定價方程。然后基于半離散化方法，給出了數值解法，并對數值結果進行了分析。

關鍵詞：期權定價，脆弱期權，CEV過程

一、引言

近年來，期權的場外市場（OTC Market）發展迅速，但是，由于場外交易的期權不受交易所的擔保和保護，使得進入期權交易的雙方都有可能違約，都面臨著對方的信用風險，從而導致期權可能得不到執行。與交易所期權不同的是，場外市場上的期權持有者面臨著對手可能違約的信用風險，Johnson和Stulz[1]將在OTC上交易的含有信用風險的期權稱為脆弱期權。

2007年，美國爆發的“次貸危機”再次說明，OTC市場上交易的金融衍生產品存在著嚴重的潛在信用風險，也使人們認識到了對含有對手信用風險的金融衍生產品進行合理定價的重要性及其現實意義。雖然，目前我國資本市場開放受到限制，商業銀行的國內業務發展迅猛，使得我國的金融市場在這次金融危機中受到的沖擊有限。但是，隨著經濟金融全球一體化進程的加劇和我國金融衍生產品市場的迅猛發展，金融機構及其監管部門越來越意識到了對信用風險進行管理并進行合理定價的重要性。因此，合理評估OTC市場上含有信用風險的期權的價值，有助于為我國的信用風險管理及金融市場的健康發展提供理論上的指導和金融技術上的支持。

Johnson和Stulz[1]最先探討含有信用風險的期權定價問題，他們首先引進脆弱期權這個術語來定義那些含有交易對手違約風險的期權，并指出了此類期權的大量特征，他們的研究實際上是拓展了Merton[2]的公司債券定價模型。Hull和White[3]給出了關于脆弱期權的定價公式。Klein[4]考慮了期權標的資產與對手資產的線性相關性，得到了歐式脆弱期權的定價公式。基于結構化的方法，在隨機違約邊界與隨機利率的假設下，Manuel[5]得到了脆弱期權定價的顯示解，推廣了Klein模型。Hung等[6]、Chang等[7]分別將Klein的研究結果推廣至不完全市場和美式脆弱期權情形。陳超[8]建立了跳-擴散結構下的脆弱期權定價模型。烏畫等[9]研究了多元隨機波動模型中的信用風險衍生品的定價問題。李平等[10]運用Frechet Copula和相關性測度Kendall 來刻畫脆弱期權行權概率與對手違約之間的相關結構，給出了歐式脆弱看漲期權價格的閉形式表達式。理論研究和金融實踐發現，期權價格中存在波動率“微笑”特征，針對這一現象，Cox和Ross[11]最早提出了用Constant Elasticity of Variance（CEV）模型來刻畫波動率的“微笑”特征。Davydo等[12]對障礙期權和回望期權建立了CEV模型，深入探討了估價及套期保值等問題。本文在上述文獻研究的基礎上，利用期權定價的無套利原理和偏微分方程方法，建立了CEV過程下脆弱期權定價模型，然后利用半離散化方法，給出了數值解法，并對數值結果進行了分析。

二、CEV過程下脆弱期權定價模型

為了推導CEV過程下脆弱期權定價模型，作如下假設：

三、半離散化及差分格式

四、數值算例

算例1. 考慮具有下列參數的歐式脆弱期權

圖1給出了期權價格與期權價值狀況（S/K）之間的關系，從圖1可以發現，期權的價格隨著期權價值狀況（S/K）值的增加而增加，這與市場實際情況相吻合。

算例2. 考慮具有下列參數的歐式脆弱期權

圖2給出了期權價格與其交易對手資產價格之間的關系，從圖2可以看出，期權交易對手資產價格越高，則期權的價格就越高，這與市場實際情況相吻合。

參考文獻：

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[9]烏畫，易傳和，杜軍等.基于多元隨機波動模型的信用風險衍生定價[J].管理科學學報，2010， 13（10）：55-62.

[10]李平，曲博，黃光東.基于Frechet Copula的歐式脆弱期權定價[J].管理科學學報，2012，15（4）： 23-30.

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基金項目：國家自然科學基金資助項目（11171221）