寓數(shù)于形 以形顯數(shù)

徐國(guó)剛

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休。”因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識(shí)地溝通數(shù)、形之間的聯(lián)系，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，通過(guò)對(duì)圖形的處理，發(fā)揮圖形對(duì)抽象數(shù)學(xué)內(nèi)容的支撐作用，引導(dǎo)學(xué)生借助形的直觀來(lái)理解數(shù)的抽象，利用數(shù)的抽象來(lái)提升形的內(nèi)在邏輯，以達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱為顯的目的，從而幫助學(xué)生理解知識(shí)、啟迪思維，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。

一、以形輔數(shù)，在直觀表象中建立模型

教師要借助圖形的直觀性將抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容形象化，并充分發(fā)揮直觀形象對(duì)新知建構(gòu)的支撐作用，讓學(xué)生從形象直觀的圖形出發(fā)，親歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，為理解數(shù)學(xué)知識(shí)奠定基礎(chǔ)。課堂教學(xué)中，教師應(yīng)提供空間，創(chuàng)設(shè)平臺(tái)，激活學(xué)生的已有生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生在具體的學(xué)習(xí)情境中自覺(jué)啟動(dòng)主體思維，深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)意義。例如，在教學(xué)“四舍五入”一課時(shí)。

師：請(qǐng)看圖（如下），從21到29這九個(gè)數(shù)中選擇最近的路，會(huì)去誰(shuí)（20或30）的家？

生1：21到20的家最近，會(huì)去20的家。

師：我們就說(shuō)21的近似值是20，記作21≈20，讀作21約等于20。（師板書(shū)并在圖上畫(huà)出表示這些數(shù)到20或30的距離的線段）

生2：25到20和30一樣近，兩個(gè)家都可以去。

師：為了不讓25為難，我們規(guī)定它去30的家，記作25≈30。請(qǐng)大家看黑板上的算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生3：我發(fā)現(xiàn)末尾是1、2、3、4的時(shí)候就舍去，末尾是5、6、7、8、9的時(shí)候就進(jìn)1。

生4：我知道這就是“四舍五入”。

師：說(shuō)的好。我們通常利用“四舍五入”的方法求一個(gè)數(shù)的近似值。再來(lái)看看圖（如下），我們學(xué)校的學(xué)生人數(shù)接近哪個(gè)整百數(shù)？

生5：因?yàn)?37到840比到830近，所以837≈840。

生6：因?yàn)?37到800比到900近，所以837≈800。

師：還有不同的想法嗎？

生7：837的個(gè)位上是7，滿(mǎn)5了，所以進(jìn)一，約等于840；它的十位上是3，根據(jù)“四舍”，要舍去，所以約等于800。

師：大家看，837≈840、837≈800，這不矛盾嗎？

生8：不矛盾，前面是四舍五入到十位，后面是到百位。

……

上述案例中，教師采用數(shù)軸的形式，頗有深意地創(chuàng)設(shè)了“選擇最近的路”的教學(xué)情境，自然直觀地生成了“四舍五入”的方法原理。通過(guò)比較21～29中各數(shù)到20和30的距離遠(yuǎn)近，使“四舍五入”有了一個(gè)形象的數(shù)學(xué)模型，使新概念的構(gòu)建水到渠成。用學(xué)生熟悉的情景反映一個(gè)數(shù)可以按不同的精確度取不同的近似數(shù)這一數(shù)學(xué)現(xiàn)象，目的是希望學(xué)生通過(guò)直觀比較，將初步認(rèn)識(shí)提升到通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)推理得到不同精確程度的近似數(shù)。顯然，這一知識(shí)的教學(xué)過(guò)程，正是教師利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)形象直觀的意義情境，用故事的形式把“四舍五入”放到數(shù)軸上展開(kāi)學(xué)習(xí)，利用情境賦予“四舍五入”一個(gè)直觀的幾何解釋?zhuān)行Щ饬苏n堂教學(xué)的難點(diǎn)。

所以，我們教師要做的就是通過(guò)直觀形象的圖形喚醒學(xué)生相關(guān)的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，這種認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)既可以從學(xué)生的生活和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中直接提取，也可以在設(shè)計(jì)和提供形象的認(rèn)知情境中提取。在這樣的教學(xué)情境中，學(xué)生具有相應(yīng)的直觀體驗(yàn)和模型識(shí)別，就能和新知識(shí)的學(xué)習(xí)建立起意義聯(lián)系。抽象的數(shù)學(xué)只有和直觀形象的意義鏈接，才能實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)新知的個(gè)性化學(xué)習(xí)。

二、寓數(shù)與形，在直觀轉(zhuǎn)化中溝通聯(lián)系

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可借助圖形的直觀性將抽象的數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，讓學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)多種感官充分感知，在形成表象的基礎(chǔ)上進(jìn)行想象、聯(lián)想，達(dá)到最終理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、形成數(shù)學(xué)思想的目的。

例如，在教學(xué)“乘法分配律”一課時(shí)，為了讓學(xué)生深入理解乘法分配律，并能熟練地進(jìn)行應(yīng)用，我利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行一些嘗試，取得了較好的效果。課堂中我從面積計(jì)算問(wèn)題引入教學(xué)，在探究過(guò)程中出示下圖，要求學(xué)生用不同的方法計(jì)算出下面圖形的面積。

學(xué)生一般會(huì)出現(xiàn)兩種解法，即S=ab+ac和S=a（b+c）。由于是求同一個(gè)圖形的面積，所以自然得到ab+ac=a（b+c），然后在驗(yàn)證的過(guò)程中，學(xué)生用了大量不同的具體數(shù)據(jù)，證明了公式的確成立。有了這個(gè)相連長(zhǎng)方形的模型，通過(guò)計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，學(xué)生能很直觀地看到相同的寬其實(shí)就是乘法分配律中的公因數(shù)。在這樣的具體情境中，學(xué)生自己不但能感悟理解，還能用自己的語(yǔ)言描述出來(lái)。通過(guò)計(jì)算長(zhǎng)方形的面積和觀察長(zhǎng)與寬之間的規(guī)律去理解乘法分配律，這樣的設(shè)計(jì)比抽象地呈現(xiàn)一組組乘法算式讓學(xué)生比較，更易于學(xué)生發(fā)現(xiàn)、理解規(guī)律。

圖形推理是抽象的計(jì)算，計(jì)算是具體的推理，圖形是推理和計(jì)算的直觀模型。數(shù)學(xué)活動(dòng)中有關(guān)圖形的知識(shí)，可以通過(guò)數(shù)和計(jì)算幫助理解。

例如，教學(xué)“梯形的面積計(jì)算”一課時(shí)，在學(xué)生通過(guò)自己的觀察和操作學(xué)習(xí)梯形的面積計(jì)算公式后，我設(shè)計(jì)了一系列練習(xí)幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固梯形面積的計(jì)算。我先出示圖形（如下）讓學(xué)生觀察，然后指著梯形上底的一端，問(wèn)學(xué)生：“如果下底不變，上底縮小，你想象一下，這個(gè)梯形會(huì)怎么樣？繼續(xù)縮小，當(dāng)上底縮小到0時(shí)，會(huì)怎么樣？”“下底還是不變，如果把上底拉長(zhǎng)到和下底一樣長(zhǎng)的時(shí)候，變成什么圖形？”由于有直觀的梯形圖為基礎(chǔ)，學(xué)生在想象上底變化的過(guò)程中，感受到面積計(jì)算的變化，既溝通了與三角形和平行四邊形之間的聯(lián)系，又使學(xué)生感悟到梯形和三角形與平行四邊形之間面積計(jì)算公式之間的關(guān)系，為學(xué)生形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)作了很好的孕伏鋪墊。

三、以形思數(shù)，在直觀操作中體悟方法

小學(xué)生的思維以形象思維為主，對(duì)于摸得到、看得見(jiàn)的具體材料更容易認(rèn)知、理解和記憶。為此，在課堂教學(xué)中，教師要善于抓住學(xué)生的這一思維特征，巧妙地將抽象的數(shù)字轉(zhuǎn)化為具體的圖形，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的初步認(rèn)知。同時(shí)，教師要讓學(xué)生多動(dòng)手操作，使學(xué)生養(yǎng)成愛(ài)動(dòng)手的好習(xí)慣，并引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)中的數(shù)字轉(zhuǎn)化為看得見(jiàn)的圖形，從而易于解決問(wèn)題。

例如，教學(xué)小學(xué)六年級(jí)的“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)，我出示題目：“在一個(gè)籠子里裝有兔子和雞，其中有8個(gè)頭，26只腳。請(qǐng)問(wèn)兔子和雞各有多少只？”假設(shè)法是本課教學(xué)的難點(diǎn)，許多學(xué)生提出了自己的困惑，歸納總結(jié)如下：為什么要用10除以2？5為什么是兔子的只數(shù)？針對(duì)學(xué)生普遍存在的困惑，我采取數(shù)形結(jié)合的方法，幫助學(xué)生理解和掌握其解題思路。在第一次試教中，我采取畫(huà)示意圖（如下）“給雞添腳”的方式引導(dǎo)學(xué)生理解10÷2。可實(shí)際教學(xué)效果表明，仍有部分學(xué)生理解困難。

在反思過(guò)程中，我覺(jué)得由雞到兔的變化沒(méi)有給學(xué)生留下深刻印象，因?yàn)樵黾拥哪_與原來(lái)的腳既沒(méi)有進(jìn)行顏色區(qū)分，也無(wú)法看出數(shù)的變化，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法借助數(shù)形結(jié)合對(duì)這一過(guò)程進(jìn)行深入思考。于是，我將“給雞添腳”改為“拿雞換兔”，并且在課件上清晰再現(xiàn)了這一置換過(guò)程。如下圖：

在整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生積極、充分地參與到課堂學(xué)習(xí)之中，儼然成為學(xué)習(xí)的小主人。學(xué)生在動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口的過(guò)程中，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)生動(dòng)形象地展示出來(lái)，加深了對(duì)所學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和感悟。

數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象。數(shù)形結(jié)合作為一種重要的解題方法，它把代數(shù)式的精確刻畫(huà)與幾何圖形的直觀形象描述結(jié)合起來(lái)，有利于啟迪思路，探求解題途徑。數(shù)量關(guān)系如果借助圖形幫助理解，可使許多抽象問(wèn)題變得直觀形象化，而且使某些涉及圖形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，從而獲得簡(jiǎn)單、快捷的解法。

四、數(shù)形結(jié)合，在逐次抽象中發(fā)展思維

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，兩者往往緊密聯(lián)系，相互補(bǔ)充，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，能清楚地揭示計(jì)算的算理，幫助學(xué)生形成解題策略，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，對(duì)學(xué)生的現(xiàn)實(shí)學(xué)習(xí)和繼續(xù)學(xué)習(xí)都有著很重要的意義。

例如，教學(xué)“設(shè)計(jì)包裝”一課時(shí)，在學(xué)生用12個(gè)棱長(zhǎng)是1分米的立方體小盒子包裝成不同的長(zhǎng)方體后，我及時(shí)把學(xué)生的回答用課件展示并提問(wèn)：“在這四種擺法（如下圖）中，你認(rèn)為哪種擺法的表面積最小？為什么？”學(xué)生一般從各個(gè)長(zhǎng)方體重疊面的多少，能正確判斷出各個(gè)長(zhǎng)方體表面積的大小。接著，我又提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：“下面請(qǐng)大家一起想想，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和表面積的大小有怎樣的聯(lián)系？”

由于學(xué)生觀察到的長(zhǎng)方體非常具體，而平時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高又是以具體的數(shù)值呈現(xiàn)的，所以很難聯(lián)想到長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和表面積大小的聯(lián)系，導(dǎo)致在教學(xué)這個(gè)環(huán)節(jié)中出現(xiàn)了冷場(chǎng)。于是，我為學(xué)生在“形”和“數(shù)”之間提供“拐杖”與支撐，及時(shí)在這些長(zhǎng)方體旁邊出現(xiàn)相對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)、寬、高具體數(shù)值的線段圖。如下：

學(xué)生已經(jīng)知道了這些長(zhǎng)方體表面積的大小，又能直觀地觀察到長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高的具體長(zhǎng)短，形成長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和表面積大小的聯(lián)系自然水到渠成。

數(shù)形結(jié)合思想和其他數(shù)學(xué)思想一樣，滲透在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程之中。學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的掌握，要經(jīng)歷從模糊到清晰的階段。因此，在課堂教學(xué)中，教師要根據(jù)各年級(jí)學(xué)生的實(shí)際水平和個(gè)體差異，使他們經(jīng)歷從“萌發(fā)意識(shí)——形成意向——掌握深化”的過(guò)程，在數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展上更深入一步。只有當(dāng)它成為兒童解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的自覺(jué)意識(shí)時(shí)，才會(huì)上升為數(shù)學(xué)思想，才會(huì)成為方法的理論基礎(chǔ)。數(shù)形結(jié)合思想形成的前提是讓學(xué)生經(jīng)歷應(yīng)用的過(guò)程，而教師提供的時(shí)間與空間是為方法提升作保證。