把握數學本質 滲透分類思想

沈科

數學思想是對數學本質的認識，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果。數學思想是數學知識的精髓，是知識轉化為能力的橋梁，且“使學生獲得數學的基本思想”是數學課程標準重要的課程目標。數學思想貫穿于數學學習的全過程，是對數學本質理解的集中體現。

分類是自然科學乃至社會科學研究中經常用到的一種思想，無論在日常生活還是科學認識活動中，都具有十分廣泛的應用。當然，分類思想也貫穿于數學研究的始終。在具體教學中，分類無論在內容和形式上都有著或隱或顯的指向，不僅教材中有分類的內容，課堂上也經常看到教師將分類活動有意識地穿插在相關的教學內容之中。“分類”事實上是數學抽象的一個必要基礎，是一種十分重要的認識方法。

教育心理學表明，分類是數學學習的重要起點。運用分類的思想，通過正確的分類，可以明晰數學概念，完整地發現與解決數學問題。但如何真正地在教學中落實分類思想，引領學生有效地學習數學知識，是每個數學教師應認真思考和探索的問題。

一、滲透分類思想，激發創新意識

分類是根據教學對象本質屬性的異同將其劃分為不同種類，即根據教學對象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸為一類，把具有不同屬性的歸為另一類。分類是學生自主發現的重要手段，教師如果引導學生對所學知識進行恰當的分類，就可以使他們的思考更具條理性，激發創新意識。

例如，四年級下冊“三角形的分類”（按角進行分類）一課內容，蘇教版教材作了如下安排。

教材先讓學生觀察出示的三角形，這一過程是幫助學生建立分類的“序”，然后明確提出“三角形的分類”這一學習任務，再引導學生積極思考：三角形的分類與角的分類有什么不同？能否參照角的分類去進行三角形的分類？接著分組討論三角形的分類情況，在學生匯報后進行歸納，分別根據角的特征去定義銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。最后，教師還應引導學生對分類方法的合理性作出具體分析和總結概括：是否可能出現交叉重復的情況？是否有遺漏？

教材為學生提供了觀察、操作、思考和討論的空間，由“角的分類”過渡到“三角形的分類”，并且引導學生認識到通過辨析三角形中最大的一個角，可以實現對三角形的正確分類。這一內容使學生在分類的科學性方面受到很好的訓練，同時激發了學生的創新意識。

二、滲透分類思想，發展數學素養

數學分類思想是根據數學本質屬性的相同點和不同點，將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想。從數學教學的角度出發，教師還應更多關注分類思想對于量性特征的研究，使學生更好地建立數學認知結構，理解數學知識。

1.關注本質

分類作為重要的數學思想，并非高不可攀。在具體教學過程中，教師不應只停留于肯定各種分類方法，而要對學生提出的各種分類方法做出必要的優化，引導學生學會“數學地去看待世界和分析問題”。例如，蘇教版教材一年級上冊“統計”一課的教學，教材直接提出問題“大象家來了哪些客人”（如下圖）來明確分類的標準，其目的是希望學生能夠通過適當的分類更好地去學習本節課的數學內容，真正經歷收集、整理數據的過程，從而達成教學目標。這里，要考慮摒棄其他非本質的分類方法。

2.完善結構

對數學對象的分類必須科學、統一，每一次分類的標準只能是一個，不能交叉地使用幾個不同的標準，要使分類既不重復也不遺漏。例如，蘇教版教材四年級下冊“倍數和因數”單元中，對非零自然數不同的分類方法有以下兩種：一是按照是否是2的倍數分為奇數和偶數；二是按照約數的個數分為素數、合數和1。又如，可以根據圖形的特征和相互間的關系進行分類，像三角形可按角分類，也可以按邊來分類。通過分類，使學生體會和理解不同的分類標準會有不同的分類結果。數學知識的分類突出了學習的重點，有助于學生對知識的梳理和建構。

3.嚴謹思考

數學分類思想常常把問題按照一定的原則和標準分為若干類，然后逐類進行討論，再把結論匯總，得出問題的答案。數學分類思想應根據學生的年齡特點逐漸滲透，循序漸進，反復訓練，使學生逐步領悟。經歷這樣的過程后，學生積累了關于分類的活動經驗，發展了自身的數學素養。

上述例子已經很清楚地反映出分類思想有助于學生全面地、合乎邏輯地進行思考。再如，蘇教版六年級上冊“分數乘法”單元中的思考題：“兩根同樣長的鋼管，第一根用去米，第二根用去。哪一根用去的長一些？”這里需要把鋼管的長度分為“大于1米”“等于1米”和“小于1米”三類來幫助解決問題。“化整為零，各個擊破”，這樣的思考策略正是基于分類思想的指導。

三、滲透分類思想，提高解題能力

數學學習內容包括四個方面，即數與代數、圖形與幾何、統計與概率以及綜合與實踐。這四個方面的內容教學都應當以數學基本思想為統領，在具體內容的理解和掌握過程中體現數學的基本思想。分類思想作為基本的、重要的數學思想，要有機地蘊涵在知識發生、發展和應用過程中。

1.運用分類思想發展推理能力

各版本教材都十分注意根據學生的實際認知水平，在各個學習內容中滲透分類思想，讓學生在應用所學知識分析、解決問題的過程中，不斷豐富對分類思想的體驗。在具體教學中，教師應注意以實際問題為載體，幫助學生通過對解決實際問題過程的回顧與反思，適當提升對分類思想的感悟，進一步感受分類思想的價值，促進思維的發展和數學學習能力的提高。例如，蘇教版教材五年級上冊“解決問題的策略”單元中的有關問題。如下：

解決這一問題時，引導學生先列舉只訂閱1本雜志的方法，再依次列舉訂閱2本和訂閱3本雜志的方法，同時注意避免遺漏和重復。這里顯然具備了分類思想的基本特點，對于學生合理分析和解決問題有著十分重要的作用。

分類思想對于培養學生思維的嚴密性、嚴謹性和靈活性，以及提高學生分析問題與解決問題的能力無疑具有較大的幫助。

2.運用分類思想發展運算能力

小學生由于年齡小，思維往往表現出單一性，各種知識交錯出現，會一時難以分辨。在計算教學中，教師要有意識地引導學生開展各種分類活動，使學生在知識技能形成和能力發展的過程中逐步感悟分類思想。例如，學習四年級下冊“運算律”一課后，蘇教版教材安排了如下練習。

8.怎樣簡便就怎樣算。

102×45 648+203 63×15×2

98×32 44×25 43×43×39

27×37+37×23 256×7-56×7

48×101-48 99×62+62

課堂教學中，教師可以引導學生對算式進行分類，對比結合律和分配律，從整體上理解算理，把握算法。這里的分類，不僅能培養學生形成認真、仔細的學習習慣和良好的數學思維習慣，更重要的是學生通過這樣的分類過程，加深了對知識之間的聯系與比較，讓所學的知識得到更好的內化。

3.運用分類思想發展數據分析觀念

教師在統計與概率知識的教學中，應滲透分類的思想。現實生活豐富多彩，很多時候需要把收集到的數據進行分類整理和描述，從而有利于分析數據和綜合地做出推斷。教材在這一方面也作了精心的設計，如二年級下冊“統計”單元中有很多需要應用分類思想解決的實際問題。

這一內容的教學，往往通過不同的實際需要引出分類統計的必要性和適用性，讓學生明確對于同樣的數據可以用多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法。這也是發展學生數據分析觀念的具體體現。

當然，分類思想存在于數學學習的全過程，在各種課型中都有所體現，對于發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀等都有著重要作用。教師要將分類思想針對不同年級學生的認知發展水平，正確認識處理好數學思想和具體數學內容教學之間的關系，既不要只關注“雙基”而忽視隱藏在知識背后的數學思想，也不要過分注重數學思想的滲透而加重學生的負擔。

分類思想與其他數學思想一樣，蘊涵于數學知識之中，既是高于具體知識和內容的一種理性認識，又是聯系數學知識的紐帶，更是學習掌握各部分數學內容的靈魂，成為形成數學概念、建立數學知識體系、思考和解決數學問題的主線。作為小學數學教師，我們必須進一步更新觀念，充分認識數學思想在數學教學中的價值和育人作用，把滲透數學思想方法真正納入教與學的目標之中。