探討三角函數(shù)中復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法

吳梨娟

摘 要：通過實(shí)踐復(fù)合三角函數(shù)單調(diào)性求解的方法，探討教材及教參提供的解法的最優(yōu)法，通過考試總結(jié)出復(fù)合函數(shù)求解思路的反思。

關(guān)鍵詞：復(fù)合函數(shù)；三角函數(shù)；單調(diào)性；換元法

復(fù)合函數(shù)的求解是本節(jié)的重、難點(diǎn)。而對于此思考題的求解過程，在教學(xué)過程中為了不讓學(xué)生對復(fù)合函數(shù)的復(fù)合產(chǎn)生混淆（必修1函數(shù)的復(fù)合讓學(xué)生很是混淆），我們一般建議學(xué)生先應(yīng)用誘導(dǎo)公式處理負(fù)號，再進(jìn)行求解。如：

解法一：

欲求y關(guān)于x的單調(diào)遞增區(qū)間，即求sint的單調(diào)遞減區(qū)間（減區(qū)間加上負(fù)號則為增區(qū)間）。

此法為換元法，先用誘導(dǎo)公式把負(fù)號處理掉，再根據(jù)函數(shù)前面所帶的正負(fù)號求解函數(shù)的單調(diào)性。避免了t關(guān)于x單調(diào)性的混淆。保證t始終隨著x的增大而增大。

解法二：

此解法在教學(xué)過程中令很多學(xué)生很是迷茫，學(xué)生對于變量的轉(zhuǎn)化不能很好地進(jìn)行變換，導(dǎo)致解題出現(xiàn)一定的障礙。故采用解法一進(jìn)行后續(xù)的教學(xué)。但是，在最近的一次期中考試中找發(fā)現(xiàn)存在著這樣的問題。

我校期中考試試題中的一問：求解函數(shù)y=sin（π-2x）的單調(diào)遞增區(qū)間。

很多學(xué)生解答都是按解法一進(jìn)行求解，但是對于π的處理上沒能正確地應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行處理。他們的解法是：y=-sin（2x-π）（有些同學(xué)負(fù)號誤認(rèn)為直接提取，但cos（-α）≠cosα，更有一部分同學(xué)處理成y=-sin（2x+π））

令t=2x-π，則y=-sint

所以，求y關(guān)于x的單調(diào)遞增區(qū)間有：

針對此種現(xiàn)象，我不禁反思：到底是按教材的直接復(fù)合好呢？還是死記三角函數(shù)的單調(diào)性求解先處理負(fù)號好呢？

經(jīng)過這次的考試總結(jié)反思。我認(rèn)為教材的目的是讓學(xué)生能夠用聯(lián)系的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)函數(shù)和應(yīng)用換元思想，而對上述的解法一僅僅限于三角函數(shù)復(fù)合的求解。

在此，我認(rèn)為教參提供的解法很有實(shí)戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn)，是通過大量的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)出來的，包括我今天的教學(xué)再一次驗(yàn)證。復(fù)合函數(shù)的直接求解剛開始可能會比較難以理解，但是針對整個(gè)高中的教學(xué)方法的連貫性，以及教學(xué)的邏輯性還是比較符合的。三角函數(shù)的復(fù)合負(fù)號的處理僅僅是復(fù)合函數(shù)的一小部分，在教學(xué)過程中還是應(yīng)該避免讓學(xué)生死記太多，更多的是要注重知識的靈活應(yīng)用。

以上是我對三角函數(shù)這一教學(xué)過程中的復(fù)合函數(shù)求解的一點(diǎn)思考，煩請其他的同行進(jìn)行指點(diǎn)和探討。

（作者單位 福建省泉州外國語中學(xué)）