動中取靜 以靜制動

韓茹

隨著數學新課程標準的實施，在各地中考試題中，考查同學們探索推理能力的動態型問題不斷涌現，并逐步演變為中考壓軸題。動態型問題往往以某種幾何圖形為載體，隨著圖形的某一元素的有規律運動變化，導致與圖形相關的量或者改變或者保持不變。其問題的解決涉及初中數學知識的方方面面，堪稱綜合性強，信息量大，有助于培養學生的分析、綜合、探究、邏輯推理能力及知識的整合能力，是考查學生解題策略的重要題型之一。

解決動態型問題，首先要把握運動、變化的全過程，在“變”中探求“不變”的本質，化動為靜，分析題中各種圖形的結合點，在相對靜止的瞬間，挖掘量與量之間的關系，找到解決問題的途徑。在解答過程中，還要特別注意數形結合、分類討論、轉化等思想方法的靈活使用。

下面以近幾年數學中考試題中的動態問題加以淺析，以便讀者掌握一些解決此類問題的基本方法和技巧。

一、點的運動型

動態幾何題的根本是探究圖形中的某些元素之間在變化過程中的相互依存關系，從數學的角度來看相互依存關系實際上就是函數關系。所以，動態變化過程中的函數關系是這類問題的常見形式之一。

二、線的運動型

動線問題是指直線按指定的路徑進行平移，旋轉，形成新的圖形，結合平行線的性質及相似三角形的相關知識，建立方程或函數關系求解。

例1（2011·青島）.如圖，在△ABC中，AB=AC=10 cm，BD⊥AC于D，且BD=8 cm，點M從點A出發，沿AC方向勻速行駛，速度為2 cm/s；同時，直線PQ由點B出發沿BA方向勻速運動，速度為1 cm/s；運動過程中始終保持PQ∥AC，直線PQ交AB于P，交BC于Q，交BD于F，連接PM，設運動時間為t s，（0

（1）當t為何值時，四邊形面積PQCM是平行四邊形？

（2）設四邊形PQCM的面積為y cm2，求y與t之間的函數關系式；

……

分析：這是2011年青島中考壓軸題，涉及點、線運動，綜合性較強。

（1）化動為靜，若PQCM為平行四邊形，根據平行四邊形的性質對邊相等，得PQ=CM=BP，引出關于t的方程，求解得到t的值。

【點評】作為一道動態幾何題，本題綜合考查了平行四邊形，三角形相似，線段的中垂線及勾股定理等諸多知識點，其中（1）問，在靜止的瞬間，挖掘圖形中的數量關系，（2）問，建立方程或函數關系式，數形結合，進行求解。作為探索性試題，（3）問采用逆向思維，先假設結論存在，進而尋找必要條件，達到解題目的。

三、面的運動型

例2（廣東中考）將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊AB重合，直角邊不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC與BD相交于點E，連接CD.

（1）填空：如圖1，AC= ，BD= ；四邊形ABCD是 梯形；

（2）請寫出圖1中所有的相似三角形（不含全等三角形）；

（3）如圖2，若以AB所在直線為x軸，過點A垂直于AB的直線為y軸建立入圖2的平面直角坐標系，保持△ABD不動，將△ABC向x軸的正方向平移到△FGH的位置，FH與BD相交于點P，設AF=t，△FBP面積為S，求S與t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍

（2）共9對相似三角形。

△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC

（3）分析：本題是一道動態型問題，在△ABC平移運動過程中，△FPB為等腰三角形，若AF=t，可知BF=8-t，故要求S與t之間的函數關系式，只要求出BF邊上的高即可，為此，需要作輔助線，利用等要三角形的性質及直角三角形的邊角關系易用含字母t的代數式表示△FPB中BF邊上的高。

動態問題的處理涵蓋初中數學中函數，方程，三角，平面圖形的諸多知識，是初中數學的重要題型，在中考壓軸題中出現率比較高。但熟能生巧，在掌握了點，線，面三種運動類型的前提下，多做一些中考中的類似題型，相信會對其處理的基本方法和技巧理解得更為透徹，提升自己解答綜合性問題的能力。

（作者單位 江蘇省蘇州工業園區第十中學）