對等差數列的教學設計

金瑜

等差數列是高中階段研究的兩種最常見的數列之一。講解時要在實例的基礎上，采用從特殊到一般，再從一般到特殊的思想，對此，學生接受起來并不太困難。只有巧妙的進行教學設計，才能充分調動學生的主觀能動性，使其充分體驗到成功的樂趣。

一、問題設計

在現實生活中，經常會遇到下面的特殊數列：

我們經常這樣數數，從0開始，每隔5個數一次，可以得到數列：

0，5，_，_，_，_，。。。

水庫的管理人員為了保證優質魚類有良好的生活環境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚，如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數列（單位：m）：

18，_，_，_，_，5.5

我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息，按照單利計算本利和的公式是：

本利和=本金？1+利率狀嫫？

例如，按活期存入1000元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內各年末的本利和組成的數列是：

_，_，_，_，_。

問題：上面的數列有什么共同特點？你能用數學語言（符號）描述這些特點嗎？

二、建立模型

一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫作等差數列，這個常數叫作等差數列的公差，公差通常用字母d表示，即an+1-an=d

問題：

如果三個數a，A，b成等差數列，那么A叫a，b的等差中項，你能用a，b表示A嗎？

你能猜想出問題情境中的3個數列各自的通項公式嗎？

一般地，對于等差數列{an}，你能用基本量a1、d來表示其通項嗎？

解法：（1）：歸納：a1=a1，a2=a1+d，a3=a1+2d，…

an=a1+（n—1）d

解法（2）：累加：a2—a1=d，a3—a2=d，…，an+1-an=d，各式相加

得an—a1=（n—1）d

∴an=a1+（n—1）d

〔思考〕

（1）這個通項公式有何特點？是關于n的幾次式的形式？d可以等于0嗎？

（2）此公式中有幾個量？

〔結論〕

（1）等差數列通項公式是關于n的一次式的形式，n的系數為d。當d=0時，該數列為常數列。

（2）此公式中有四個量，即 n，d，知道其中任何三個可求另外一個，所以，通項公式實質上是四個量之間的關系。

三、解釋應用

1、（1）求等差數列8，5，2，…的第20項。

（2）—401是不是等差數列—5，—9，—13，…的項？如果是，是第幾項？

2、某市出租車的計價標準為1.2元/千米，起步價為10元，即最初的4km（不含4km）計費10元，如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，須要支付多少車費？

解：根據題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客須要支付1.2元，所以，可建立一個等差數列{an}來計算車費。

令a1=11.2，表示4km處的車費，公差d=1.2。那么，當出租車行至14km處時，n=11，此時須要支付車費a11=11.2+（11—1）？.2=23.2（元）。

答：須要支付車費23.2元。

3、已知數列{an}的通項公式為an=pn+q，其中p、q為常數，且p≠0，那么這個數列一定是等差數列嗎？

分析：判定{an}是不是等差數列，可以利用等差數列的定義，也就是看an-an-1（n>1）是不是一個與n無關的常數。

解：取數列{an}中的任意相鄰兩項an與an-1（n>1），求差，得

an-an-1=（pn+q）-〔p（n-1）+q〕=pn+q-（pn-p+q）=p

四、拓展延伸

在直角坐標系中，畫出通項公式為an=3n-5的數列的圖像，并說出這個數列的圖像有什么特點，該圖像與y=3x-5的圖像有什么關系？據此，你能得出一般性的結論嗎？

通項公式的四個量中知道其中三個量可求另一個量，你能據此編出一些不同的題目嗎？

對于兩個次數相同的等差數列{an}和{bn}，{an+bn}，{an·bn}·{}（bn=0）是否為等差數列？

總之，教師能否調動學生的積極性和能否真正培養學生能力，提高課堂效率，很大程度上取決于教師能否設計出既符合教材要求又符合學生的認知水平的問題，通過設計一些列問題，層層遞進，使問題得到了全面解決，這樣不僅鍛煉了學生的思維，培養了能力，而且體現了新課程的理念。

（作者單位：河南省扶溝縣第二高級中學）