一類概率中考題引發的思考

石建彬

2010年和2011年佛山市的中考題中有同一類問題引起了我的注意。

（2010年）研究“擲一個圖釘，釘尖朝上”的概率，兩個小組用同一個圖釘做實驗進行比較，他們的統計數據如下，請你估計第一小組和第二小組所得的概率分別是多少？

（2011年）在1-9中隨機選取3個整數，若以這3個整數為邊長構成三角形的情況如下表：請你根據表中數據，估計構成鈍角三角形的概率是多少？（精確到百分位）

此類通過試驗用頻率估計概率的問題，學生通常會有以下一些解答方式：（以2011年試題為例）

方法一：選擇試驗次數最多的一次，用計算所得頻率估計概率。

方法二：累積所有試驗次數和所研究事件發生的次數，用計算所得頻率估計概率。

∴P（構成鈍角三角形）≈0.22。

方法三：計算每一次試驗所研究事件發生的頻率，取所有頻率的平均值估計概率。

方法四：計算每一次試驗所研究事件發生的頻率，根據頻率變化的趨勢估計概率。

下面分析四種方法背后學生對于頻率與概率關系不同的理解方式：

學生之所以將概率看作頻率的極限，其主要原因是研究隨機現象時錯誤地運用了研究確定性現象的數學方法，結果混淆了隨機變量序列依概率收斂與函數序列收斂之間的重大區別。

根據以上分析，不難得出以下結論：無論一次試驗中試驗次數有多大，用一個頻率值去估計概率是不準確的，正確的方法應該計算多個頻率，觀察隨著試驗次數的增加，頻率的變化趨勢，進而估計概率值。所以方法一、二均不準確。

同理，方法三中以多個頻率的算數平均數估計概率雖然在前半部分計算了各組的頻率，但是計算平均數的方法并未體現出頻率的變化趨勢，因而也不準確。

綜上所述，方法四的解法最準確地理解了頻率與概率的關系，是能夠得到全分的方法。

參考文獻：

劉華林.頻率與概率.中國統計，1996（4）.

（作者單位 廣東省佛山市順德一中德勝學校）