2013年高考數(shù)學必做客觀題——三角函數(shù)與三角恒等變換

車樹勤

三角函數(shù)的定義

（★★）必做1 若角θ的終邊過點P（-4t，3t）（t∈R且t≠0），則2sinθ+cosθ=_______.

[牛刀小試]

精妙解法 因為x=-4t，y=3t，所以r=5t.

所以當t>0時，sinθ===，cosθ===-，此時2sinθ+cosθ=2×-=.

當t<0時，sinθ=-，cosθ=，此時2sinθ+cosθ=2×

-+=-.

極速突擊 直接利用三角函數(shù)的定義即可解題.

誤點警示 由于t可正可負，所以不能錯誤地認為r=5t，而忽略r=5t，也別忘了對參數(shù)t進行分類討論.

（★★★）必做2 已知tanα>0，且sinα+cosα>0，那么角α的終邊在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

[牛刀小試]

精妙解法 設P（m，n）是角α終邊上任一點，

OP

=r>0，則tanα=>0，且sinα+cosα=>0，所以m>0，n>0，即點P在第一象限，所以角α的終邊在第一象限，故選A.

極速突擊 設點在角的終邊上，運用三角函數(shù)的定義解題.

同角三角函數(shù)的關系及誘導公式

（★★）必做3 若sin

-α=，則cos

+2α=________.

[牛刀小試]

精妙解法 cos

+2α=cosπ-2

-α=-cos2

-α= -1-2sin2

-α=-1+2sin2

-α= -.

極速突擊 條件角-α與結論角+2α之間存在這樣的關系：2

-α+

+2α=π，因此可通過誘導公式進行轉化，求條件角的三角函數(shù)值.尋找條件角與結論角之間的關系是三角化簡求值中的常見題型，需要仔細分析，看它們之間是否存在互余、互補等關系，通過配湊，轉化為可用三角公式求解的形式.

（★★★）必做4 已知sin（3π-α）=cos

+β和cos（-α）= -cos（π+β），且0<α<π，0<β<π，則α+β的值為（ ）

A. π B. π

C. π或π D. π或π

[牛刀小試]

精妙解法 已知條件可化為sinα

=sinβ，①

cosα

=cosβ，②兩式平方相加可得sin2α+3cos2α=2，即sin2α=，sinα=±. 因為0<α<π，所以sinα=. 所以α=或. 將α的值分別代入②可求得cosβ=或cosβ=-，又0<β<π，所以β=或. 因此α=，β=或α=，β=. 所以α+β=π或π. 故選C.

極速突擊 求角α和β就是要求角α和β的某一個三角函數(shù)值. 解決問題的關鍵是在求出三角函數(shù)值后不要漏掉角的限制范圍0<α<π，0<β<π.

誤點警示 已知三角函數(shù)值求角時，一定要考慮角的范圍，忽略這一點常常是導致三角函數(shù)求值出錯的一個原因. 有時限制角的條件是隱含的，如：已知α，β為銳角，且sin（α+β）=，則數(shù)值中就隱含了一個縮小α+β范圍的條件，因為sin（α+β）=<，且0<α+β<π，所以0<α+β<或<α+β<π.

三角函數(shù)的圖象

對函數(shù)圖象平移問題要分三個過程完成：①左右平移；②針對x的伸縮變換；③上下平移. 解答中注意變換的倍數(shù)與平移的單位與函數(shù)解析式的對應關系. 對于根據(jù)平移后的解析式求平移前的解析式，實際上是逆向思維問題，解答時只需將問題“倒過來”求解即可，但要注意題中的關鍵詞“向左（右）、向上（下）、伸長（縮短）”就分別變成了“向右（左）、向下（上）、縮短（伸長）”. 由圖象求解析式y(tǒng)=Asin（ωx+φ）+k或由代數(shù)條件確定解析式時，應注意：①振幅A=（ymax-ymin）；②相鄰兩個最值對應的橫坐標之差，或一個單調區(qū)間的長度為T，由此推出ω的值；③確定φ值，一般將給定的特殊點的坐標代入解析式來確定.

（★★★）必做5 已知函數(shù)y=f（x），先將其圖象向右平移個單位，再把圖象上每一點的橫坐標擴大為原來的兩倍，所得圖象恰好與函數(shù)y=3sin

x+的圖象相同，則y=f（x）的解析式為_________.

[牛刀小試]

精妙解法 將y=3sin

x+的圖象上每一點的橫坐標縮小為原來的一半（縱坐標不變），得到y(tǒng)=3sin2x+

的圖象；將所得到的圖象向左平移個單位，即y=3sin2x+

+

，所以f（x）=3sin2x+

.

極速突擊 對函數(shù)y=3sin

x+的圖象作相反的變換，尋求應有的結論即可. 此題為逆向求解，對圖象作變換時要注意，橫坐標的擴大與縮小只與ω有關，與其他參量無關. 圖象的左、右平移應先把ω提到括號外，然后根據(jù)加減號向相應方向移動. 本題也可以設所求函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），通過“正向變換”得到f（x）=Asin

x-+φ，與y=3sin

x+是同一函數(shù)，進行相應系數(shù)的比較后也可以得出結論.

誤點警示 變換的先后順序是易錯點.如果由y=3sin

x+先向左平移個單位，再把圖象上每一點的橫坐標縮小為原來的一半，則將得錯誤結果y=3sin

2x+.

（★★★）必做6 圖1為函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的一段，其解析式為_________.

[y][x][O][-][][][M][][-][N]

圖1

[牛刀小試]

精妙解法 法1：由圖可知A=，T=--

=π，即=π，所以ω=2. 此時解析式為y=sin（2x+φ）. 因為圖象過點

，0，所以0=sin

+φ. 所以+φ=0，解得φ=-. 所以解析式為y=·sin2x-

.

法2：由法1可得解析式y(tǒng)=·sin（2x+φ），因為圖象過點-

，0，所以0=sin-

+φ. 所以-+φ=π，得φ=π+. 所以y=·sin2x+π+

. 所以所求解析式為y=-sin2x+

.

極速突擊 由圖象求函數(shù)解析式，一是根據(jù)圖象的最高點和最低點得A；二是從圖象求函數(shù)周期，利用周期公式得ω；三是把特殊點帶入函數(shù)解析式得φ. 在確定A，ω值時沒有疑義，但在求φ值時，往往尋找“五點法”中的第一零點

-，0作為突破口，要注意從圖象的升降情況找準第一個零點的位置. “第一點”（即圖象上升時與x軸的交點）為ωx+φ=0；“第二點”（即圖象的“峰點”）為ωx+φ=；“第三點”（即圖象下降時與x軸的交點）為ωx+φ=π；“第四點”（即圖象的“谷點”）為ωx+φ=；“第五點”為ωx+φ=2π.

誤點警示 在解法2中，“-+φ=π”是個易錯點，如果寫成-+φ=0，得φ=，則會得到錯誤的解析式y(tǒng)=sin2x+

. 如果圖象中指明了最值的坐標，就最好選用最值的坐標代入式子求解，因為最值不存在圖象的走勢問題.

三角函數(shù)的性質

（★★★）必做7 函數(shù)y=3· sin

-

的單調遞增區(qū)間為_______.

[牛刀小試]

精妙解法 設μ=-，則y=3sinμ. 當2kπ+≤μ≤2kπ+時，y=3sinμ隨μ的增大而減小. 又知μ=-隨x的增大而減小，所以當2kπ+≤-≤2kπ+，即-4kπ-≤x≤-4kπ-時，y隨x的增大而增大. 所以y=3sin

-

的單調遞增區(qū)間為-4kπ

-，-4kπ

-（k∈Z）.

極速突擊 將-看做一個變量μ，求出μ的范圍，結合μ=-是x的單調減函數(shù)，由復合函數(shù)的單調性可求得函數(shù)的單調區(qū)間. 也可以提出負號變成y=-3sin

-

，y=3sin

-

的單調遞減區(qū)間即為y=3sin

-

的單調遞增區(qū)間.

誤點警示 本題一定要注意變量x的系數(shù)是負數(shù)，所以要把-放在μ的單調遞減區(qū)間里求解. 但有時容易誤以為求遞增區(qū)間，即把μ=-放在y=3sinμ的遞增區(qū)間2kπ-

，2kπ

+（k∈Z）里求解x的取值范圍，而得到錯誤的結果.

（★★★）必做8 函數(shù)y=-2cos2x+2sinx+3的值域為_______.

[牛刀小試]

精妙解法 原式可化為y=-2（1-sin2x）+2sinx+3=2sin2x+2sinx+1=2sinx

++. 令t=sinx，則y=2t

++，t∈[-1，1]. 由二次函數(shù)的圖象可知，當t=-時，y=；當t=1時，y=5. 所以所求值域為

，5.

極速突擊 形如y=asin2x+bcosx+c型的函數(shù)，其實質同上面情況一樣，特點是含有sinx，cosx，并且其中一個是二次，另一個是一次. 處理方式是應用sin2x+cos2x=1進行化簡，使函數(shù)式只含有一種三角函數(shù)；再應用換元法，轉化成二次函數(shù)求解.

誤點警示 要注意換元后t的取值范圍，若忽視了sinx∈[-1，1]，則結果就會出錯；若題中x的取值范圍不是R，而是給定的一個取值范圍，則sinx換元后的t的取值范圍就要相應發(fā)生變化.

三角函數(shù)的性質的難點是與三角函數(shù)圖象相關的性質.要突破這一難點，就要牢固把握三角函數(shù)的圖象：三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象在其對稱軸處取到最大值或最小值，且相鄰的最大值與最小值之間的距離為其函數(shù)的半個周期；函數(shù)圖象與x軸的交點是其對稱中心，相鄰兩個對稱中心之間的距離也是函數(shù)的半個周期；函數(shù)取最值的點和相鄰的與x軸的交點之間的距離為函數(shù)的個周期.

和差角公式運算

當已知條件中的角與所求角不同時，需要通過“拆”“配”等方法實現(xiàn)角的轉化，一般是尋求它們的和、差、倍、半關系，再通過三角變換得出所要求的結果.要善于逆用公式，即從右往左用公式，將單角往復角轉化.掌握常數(shù)三角化的運用，如1=tan45°等，這對解決形如“”型的問題特別重要.若題目中出現(xiàn)tanα±tanβ和tanαtanβ的結構，通常利用兩角和與差的正切公式的變形式解決問題：tanα±tanβ=tan（α±β）·（1?tanα·tanβ）.

（★★★）必做9 已知函數(shù)f（x）=asinx-bcosx（a，b為常數(shù)，a≠0，x∈R）在x=處取得最小值，則函數(shù)y=f

-x是（ ）

A. 偶函數(shù)，且它的圖象關于點（π，0）對稱

B. 偶函數(shù)，且它的圖象關于點

，0對稱

C. 奇函數(shù)，且它的圖象關于點

，0對稱

D.奇函數(shù)，且它的圖象關于點（π，0）對稱

[牛刀小試]

精妙解法 因為f（x）=asinx-bcosx=sin（x-θ）（其中tanθ=），由題意知-θ=-+2kπ（k∈Z），所以θ=-2kπ（k∈Z）. 所以f（x）=sinx-

+2kπ=· sin

x-，所以y=f

-x=· sin（-x）=-sinx.

所以y=f

-x是奇函數(shù)，且它的圖象關于點（π，0）對稱. 故選D.

極速突擊 公式y(tǒng)=asinx±bcosx=sin（x±θ）（a，b為不同時為零的實數(shù)）可以化簡函數(shù)表達式，解決三角函數(shù)問題時有重要的應用.

（★★★）必做10 已知cosα=，cos（α+β）=-，且α∈0，

，α+β∈

，π，則β=_______.

[牛刀小試]

精妙解法 因為0<（α+β）+（-α）<π，所以β∈（0，π）. 又cosβ=cos[（α+β）+（-α）]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα= -·+·=，所以β=.

極速突擊 觀察已知角和所求角，可作出β=（α+β）+（-α）的配湊角變換，然后利用余弦的差角公式求角. 將條件中的角拆成結論中的角，或將要求的角拆成已知中的角，這種方法是連接、溝通已知與結論的重要手段；當角或三角函數(shù)可以分別進行拆項或添項處理時，若不能直接達到變換的要求，則可觀察各角之間的關系，借助誘導公式來完成.

誤點警示 有的同學會這樣做：sinβ=sin[（α+β）+（-α）]=sin（α+β）·cosα-cos（α+β）sinα=·+·=，所以β=或β=.由于當β∈（0，π）時，sinβ不是單調函數(shù)，所以由sinβ=求角β還需要進一步討論角β的取值范圍；但當β∈（0，π）時，cosβ是單調函數(shù)，所以取余弦函數(shù)求角β更簡捷.

（★★★）必做11 已知0<β<<α<，cos

-α=，sin

+β=，則sin（α+β）的值為_______.

[牛刀小試]

精妙解法 由于cos

-α=sinα+

=， 又<α+<π，所以cosα+

=-.

因為sin

+β=，<β+<π，所以cos

+β=-. 所以sin（α+β）=-sinα+

+β+

= -sinα+

cosβ+

+cosα+

·sinβ+

=.

極速突擊 比較給出的角與待求式中角的關系，能發(fā)現(xiàn)

+β-

-α=+（α+β），當然也可先將cos

-α變化為sin

+α，再考慮

+α+

+β=π+（α+β），接下來只需求出相應角的正、余弦值，利用兩角和與差的三角公式求解即可.

誤點警示 在根據(jù)已知的三角函數(shù)值求未知的三角函數(shù)值時一定要先求角的范圍，只有根據(jù)這個范圍才能正確地求出三角函數(shù)值，這個過程一定不能省略.

倍角公式的運算

（★★★）必做12 已知x∈

-，

，且sin2x=sinx-

，則x=_________.

[牛刀小試]

精妙解法 因為sin2α= -cos2α+

=-cos2α+

=1-2cos2α+

，所以原方程可化為1-2cos2x+

=-cosx+

，解得cosx+

=1或cosx+

=-.

又x∈

-，

，所以x+=0或x+=. 所以x=-或x=.

極速突擊 觀察已知角和要求的角，發(fā)現(xiàn)它們之間是二倍角的關系，所以用二倍角公式求解.

二倍角公式常用的有：

變式1 sin2α=sin2α+

-cos2α+

=1-2cos2α+

=2sin2α+

-1，

變式2 cos2α=2sinα+

·cosα+

=2sinα+

sin

-α.

這兩個變式的形式與二倍角正、余弦形式恰相反，角度變?yōu)棣?

.

（★★★）必做13 函數(shù)y=2sinx·（sinx+cosx）的最大值為（ ）

A. 1+ B. -1

C. D. 2

[牛刀小試]

精妙解法 y=2sin2x+2sinxcosx=1-（1-2sin2x）+sin2x=1-cos2x+sin2x=1+sin2x-

≤1+. 故選A.

極速突擊 本題主要是逆用倍角公式及正弦的和角公式. 在不少的三角函數(shù)題的解答中，都需將三角公式逆用，這里是指運用2sinαcosα=sin2α，2cos2α-1=cos2α，1-2sin2α=cos2α等.

誤點警示 本題中x的取值范圍是R，如果給定x一個限制范圍，那么就要根據(jù)2x-的取值情況來確定sin2x-

的取值范圍.