2013年高考數學必做客觀題——導數及其應用

趙攀峰

導數概念及其幾何意義

（★★★）必做1 設f（x）=（x-1）·（x-2）…（x-101），則f ′（1）等于（ ）

A. 0 B. 99！

C. 100！ D.101！

[牛刀小試]

精妙解法 設f（x）=（x-1）g（x），兩邊對x求導，得f ′（x）=g（x）+（x-1）·g′（x），所以f ′（1）=g（1）=（1-2）（1-3）·…·（1-101）=（-1）（-2）·…·（-100）=100！. 故選C.

極速突擊 解本題的關鍵是把f（x）寫成（x-1）g（x），求乘積的導數，再賦值.

（★★★★）必做2 已知函數f（x）=f ′（0）cosx+sinx，則函數f（x）在x0=處的切線方程是_______.

[牛刀小試]

精妙解法 f ′（x）=-f ′（0）sinx+cosx，令x=0，得f ′（0）=1，k=f ′

=-1，

所以切線方程為y-1=-x-

，即x+y--1=0.

極速突擊 本題先求f ′（0）的值，再求在x0=處的切線斜率.

誤點警示 導數f ′（x0）的幾何意義是曲線對應的函數y=f（x）在某點x0處切線的斜率，因此切線方程可通過求導數先得斜率，再由切點利用點斜式方程求得. 求過點P（x0，y0）的切線方程時，一要注意P（x0，y0）是否在曲線上；二要注意該點可能是切點，也可能不是切點，因而所求的切線方程可能不只1條.

（★★★★）必做3 已知函數f（x）=sinx的圖象與直線y=kx（k>0）有且僅有三個公共點，這三個公共點橫坐標的最大值為α，則α等于（ ）

A. -cosα B. -sinα

C. -tanα D. tanα

[牛刀小試]

精妙解法 f（x）的圖象與直線y=kx（k>0）的三個交點如圖1所示，且在π

，內相切，其切點為A（α，-sinα），α∈π

，.

由于f ′（x）=-cosx，所以-cosα= -，即α=tanα. 故選D.

[y][x][O][A][y=kx][π][y=

sinx

][α][2π]

圖1

導數的運算

（★★★）必做4 設函數f（x）=，則使得f ′（x）>0的x的取值范圍是（ ）

A. -∞

， B. 0

，

C.

，1 D. （e，+∞）

[牛刀小試]

精妙解法 f ′（x）=-，由f ′（x）>0，得lnx+1<0，所以0

（★★★）必做5 設函數f（x）=cos（x+φ）（0<φ<π）. 若f（x）+f ′（x）是偶函數，則φ=______.

[牛刀小試]

精妙解法 f ′（x）=-·sin（x+φ），

g（x）=f（x）+f ′（x）=cos（x+φ）-sin（x+φ）=2cos（x+φ+），

要使g（x）為偶函數，只需φ+=kπ（k∈Z），即φ=kπ-（k∈Z）.

又0<φ<π，所以k只能取1，即φ=π.

極速突擊 本題先求f′（x），再利用偶函數的定義求得φ.

（★★★★）必做6 放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現象稱為衰變.假設在放射性同位素銫137的衰變過程中，其含量M（單位：太貝克）與時間t（單位：年）滿足函數關系：M（t）=M02，其中M0為t=0時銫137的含量，已知t=30時，銫137的含量的變化率是-10ln2（太貝克/年），則M（90）=_______太貝克.

[牛刀小試]

精妙解法 M′（t）=-ln2×M02，則M′（30）=-ln2×M02=-10ln2，解得M0=600，所以M（t）=600×2，那么M（90）=600×2=600×=75太貝克.

誤點警示 指數函數的導數（ax）′=axlna，特別的，（ex）′=ex，熟記公式是解決問題的前提.

定積分及其運算

（★★★）必做7 若設f（x）=x2，x∈[0，1]，

2-x，x∈（1，2），則f（x）dx等于（ ）

A. B.

C. D. 不存在

[牛刀小試]

精妙解法 先畫出f（x）的圖象，見圖2的陰影部分，則

f（x）dx=x2dx+（2-x）dx=x31

0+

2x-x22

1=+4-2-2+

=. 故選C.

[y][x][O][1][2][圖2]

極速突擊 微積分基本定理：如果f（x）是區間[a，b]上的連續函數，并且F′（x）=f（x），那么f（x）dx=F（b）-F（a）. 該公式又叫萊布尼茲公式，稱F（x）為f（x）的原函數.

為了方便，常常把F（b）-F（a）記成f（x）dx=F（x）b

a=F（b）-F（a）.

誤點警示 求定積分時關鍵是尋求原函數，積分區間不能出錯.

（★★★）必做8 如圖3，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，O為AD的中點，拋物線的頂點為O，且通過點C，則陰影部分的面積為________.

[B][O][A][C][D]

圖3

[牛刀小試]

精妙解法 以O為圓心，以OD為y軸建立直角坐標系，拋物線的方程為x2=2y，S=-dx=.

極速突擊 在利用定積分求平面圖形的面積時，一般要先畫出它的草圖，通過解方程組確定相應的積分區間.

導數的簡單應用

（★★★）必做9 已知函數f（x）=x3-ax2+x+1在區間[1，+∞）遞增，則實數a的取值范圍是（ ）

A. （-∞，4） B. （-∞，4]

C. （-∞，2） D. （-∞，2]

[牛刀小試]

精妙解法 f ′（x）=3x2-ax+1，由f（x）在區間[1，+∞）遞增，則f ′（x）≥0對x∈[1，+∞）恒成立，即3x2-ax+1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，所以a≤3x+對x∈[1，+∞）恒成立.

設g（x）=3x+，x∈[1，+∞），g′（x）=3->0，所以g（x）≥g（1）=4，

所以a≤4，故選B.

極速突擊 （1）若函數f（x）在區間D上滿足f ′（x）>0，則f（x）為區間D上的增函數；

若函數f（x）在區間D上滿足f ′（x）<0，則f（x）為區間D上的減函數.

（2）若函數f（x）為區間D上的增函數，則f ′（x）≥0對區間D恒成立；

若函數f（x）為區間D上的減函數，則f ′（x）≤0對區間D恒成立.

誤點警示 f（x）在區間[1，+∞）遞增，則f ′（x）≥0對x∈[1，+∞）恒成立，而不是f ′（x）>0對x∈[1，+∞）恒成立.

（★★★★）必做10 設函數f（x）=ex（sinx-cosx），若0≤x≤2013π，則函數f（x）的各極大值之和為________.

[牛刀小試]

精妙解法 求得f ′（x）=2exsinx，當x∈（2kπ，2kπ+π）時， f ′（x）>0；

當x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時， f ′（x）<0，所以當x∈（2kπ，2kπ+π）時， f（x）遞增，當x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時，函數f（x）遞減，故當x=2kπ+π時， f（x）取極大值，其極大值為f（2kπ+π）=e2kπ+π·[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e2kπ+π.

又0≤x≤2013π，所以函數f（x）的各極大值之和

S=eπ+e3π+…+e2013π=.

極速突擊 本題先確定函數f（x）的極大值點，再求和.

誤點警示 應用導數解函數f（x）的極值，要先求出f ′（x）=0的解，再判斷在各個解的兩側導數值的符號，只有滿足兩側導數值異號的解才是f（x）的極值點.

（★★★★）必做11 設函數f（x）=lnx-（a<-1），若f（x）在[1，e]上的最小值為，則a的值為_______.

[牛刀小試]

精妙解法 f ′（x）=，因為a<-1，x∈[1，e]，令f′（x）=0，則x=-a.

① 若1<-a0，即f（x）在（-a，e）上遞增，所以[f（x）]min=f（-a）=ln（-a）+1=，所以a=-；

② 若-a≥e，即a≤-e時，則x+a≤0， f ′（x）≤0在[1，e]上恒成立，即f（x）為[1，e]上的減函數，所以[f（x）]min=f（e）=1-=，所以a=-，矛盾.

故a=-.

極速突擊 函數的最大（小）值在極值點或區間的端點取得，需要分極值點是否在區間內進行討論.

導數的應用問題，首先要確定函數的定義域，再求導數f ′（x），得到導函數的零點后，一般列表判定單調區間與極值或最值；若是含參變量的單調性或極值問題，則應結合定義域對方程根的問題進行討論；對于某些綜合問題，還要進行命題轉化（如恒成立、大小比較、數列問題等），逐步化歸為基本問題來解決，尤其是注意分類討論、數形結合等思想的綜合運用.