“數學廣角”教學紀實與評析

周惠 欒燕

教學內容：人教版小學數學三年級下冊第九單元“數學廣角——重疊問題”。

教學目標：

1.通過活動實例，初步滲透集合的思想方法，引導學生學會用韋恩圖表示兩個集合及它們的交集。

2.培養學生探索能力和會用集合思想解決實際問題的能力。

3.培養學生善于觀察、善于思考，養成良好的學習習慣。

教學重、難點：理解集合圖的各部分意義及解決簡單問題的計算方法。

教學過程：

一、問題情境，導入新課

師：同學們，我們群力兆麟小學春季運動會即將召開了，這是我們班的報名單（出示名單），算一算，這兩項比賽一共有多少人參加？

生1：15人。

生2：不對，有人重復報名了。

師：哪幾人重復了？到底多少人參加比賽？

生3：3人重復，12人參加比賽。

師：剛才我們在觀察報名單，研究參加比賽總人數時，有同學說15人，還有同學說12人，看來，問題的關鍵就在于這份報名單上沒有將重復報名的3名同學清楚地表示出來。你們能不能想個更加直觀的辦法，讓我們一目了然就能知道哪些是參加跑步比賽的同學，哪些是參加跳繩比賽的同學，哪些是兩項比賽都參加的同學。（出示要求。）

二、自主探索，設計方案

師：為了便于你們研究，我們把名字按順序依次排列換成序號，請同學們利用這些序號，結合要求，先自己靜靜地想一想，然后在小組內交流一下，最后把你們組公認的最佳方案寫在題卡上。

三、各小組匯報設計方案

第一組：在重復報名的序號上標注記號。

師：利用標注記號的方法提示重復報名的同學，這種方法在生活中很常見。哪個小組也想到了這個辦法？

第二小組：分類記錄。第一行是跑步的，第二行是跳繩的，第三行是兩項比賽都參加的。

師：將參加比賽的三種情況分類記錄，挺清楚。哪個小組與他們的想法一樣？

第三組：用韋恩圖表示。第一個圈表示跑步的，第二個圈表示跳繩的，兩圈交叉的部分表示兩項都參加的。

師：這個方法很特別，怎么會想到這種方法，在哪里見過嗎？哪個小組也用到了這個方法？

生：科學課上聽老師介紹過。

師：你們真了不起，能夠用自己積累的方法、經驗解決問題。

四、交流各種方案

師：你們更喜歡哪一種方法呢？

生1：第三種方法把參加同類比賽的都圈在了同一個圈里，很清楚。

生2：第三種方法把重復報名的只寫了一遍，更簡便。

生3：第三種方法還能找到只參加跑步的同學和只參加跳繩的同學。

師：“參加跑步”和“只參加跑步”只有一字之差，有什么區別嗎？

生：“只參加跑步”表示就參加一項，不參加其他項目，而“參加跑步”表示除了跑步比賽外，還有可能參加別的項目。

師：謝謝你們，敢于站在這里，把自己的想法與大家交流。下面我們就一起來看看你們比較喜歡的第三種方法。

演示：兩圈向中間移動，交叉（如下圖）。

五、了解韋恩圖的各部分意義

師：注意觀察，兩圈交叉的部分2、4、6號表示什么意思？

生：既參加跑步比賽又參加跳繩比賽。

師：除此之外，在這幅圖中，你還能找到其他信息嗎？

生1：只參加跑步的1、3、5、7。

生2：只參加跳繩的8、9、10、11、12。

師：這幅圖中，不同的位置表示著不同的意思，能快速說出涂色部分表示的意思嗎？（分別出示5部分。）

師：知道這叫什么圖嗎？

生：韋恩圖。

師：韋恩圖，也叫集合圖，是英國數學家韋恩在1881年發明并以他的名字命名的。

六、多種方法列式解決

師：我們已經學會利用韋恩圖表示報名情況，并且也知道了有12人參加比賽，那么怎么通過列式的方法得出這12人呢？請你利用韋恩圖，想想辦法。

生1：“4+3+5”只參加跑步的加上兩項比賽都參加的再加上只參加跳繩的求出總人數。

師：將完全不重復的三部分相加在一起可以求出總人數。

生2：“7-3+8”只參加跑步的再加上參加跳繩的所有人求出總人數。

生3：“8-3+7”只參加跳繩的再加上參加跑步的所有人求出總人數。

師：這兩種方法在思路上有什么相同地方？

生：都是先求出只參加一項比賽的，然后加上參加另一項比賽的所有人。

生4：“7+8-3”用跑步的加上跳繩的再減去重復報名的。

師：為什么要減3？結合圖示說一說。

師：你們真了不起，借助韋恩圖從不同的角度思考，不但想出了這么多種方法，而且通過我們之間的交流，明白了每一種方法的意思。這類有重復現象的問題在數學中被稱為重疊問題（板書課題）。

七、拓展應用

師：如果跑步5人，跳繩7人。猜一猜，可能有多少人參加比賽？

生1：12人。

生2：10人。

生3：9人。

師：老師這里有兩張點子圖，分別代表參加跑步和跳繩比賽的同學，能利用點子圖將你們的想法演示出來嗎？

（生演示各種情況。）

師：猜一猜最多幾人，最少幾人？分別是什么情況？

生：沒有任何重復的情況下，最多12人；當參加跑步比賽的5名同學全部參加跳繩比賽時，最少7人（演示）。

師：在匯報的過程中，我們發現，除了表示重疊問題的這種集合圖之外，還有這種表示沒有重疊現象的集合圖，以及這種一部分完全包含在另一部分中的集合圖。（課件出示）

師：看，集合圖多有趣啊，這里充滿了奧秘，今后的學習中，我們還會學到更多相關的知識。

評析：

“數學廣角”是人教版教材新增設的教學板塊，核心任務是滲透數學思想方法，發展學生數學思維，使學生學會數學思考。本節課突出體現以下兩點。

一、深入研究教材，實現兩個突破性的再造和重組

1.改變教材中表格形式呈現名單

周老師沒有像教材那樣利用表格呈現名單，并且將重復的學生整齊排列在一起，而是采用打亂順序的隨機記錄方式，這樣更加符合生活實際，目的是讓學生產生認知沖突，發現這份名單不能清晰地計算出一共有多少人參加比賽，從而產生重新設計報名單的需求。讓學生經歷自主思考問題、自主發現問題的過程，然后再開始重疊問題的探究之旅。

2.用序號替代了學生的姓名，滲透符號意識

重視符號意識的滲透，重視小學生抽象概括能力的培養，是新課程提出的一個重要任務。周老師引導學生用序號取代名字，并對序號進行分類，體會利用集合分類解決問題的過程。這里不僅滲透了符號意識，也為日后進一步優化韋恩圖，直接用數字表示起到了重要的“橋梁”作用。

二、充分考慮學生的把握和接受程度，理解和提升的深度

1.努力拓展學生思維，讓不同的學生在數學上得到不同的發展

教材僅僅提供“用兩部分相加減去重復的部分”這樣一種解決重疊問題的方法。而周老師充分發揮了集合圖工具性的作用，引導學生借助集合圖弄清了數量關系，尋找到多種解決問題的方法。在不同計算方法的交流中，真正感受到解決問題的多樣性，學生各取所需，各有所得，各有所樂，真正讓不同的學生在數學上得到不同的發展。

2.注重應用練習的綜合性與嚴謹性

周老師設計了這樣一道綜合性、開放性、研究性十足的練習題，著實讓人耳目一新?！芭懿?人，跳繩7人”先讓學生猜一猜兩項比賽可能有幾人？再讓學生利用點子圖，直觀演示出不同的答案。那么在這開放的答案中，實際上就是逐漸在變化集合圖，滲透并集、交集、子集的思想，豐富了學生對集合的進一步認識。而“最多幾人，最少幾人”這個問題又涉及了區間思想，使學生逐步學會思考問題的嚴謹性。最后，再通過整理演示，提升為字母表示，滲透模型思想?？梢哉f這樣的應用練習從簡單到復雜，從收斂到開放，既鏈接了豐富的課程資源又實現了對數學思維的層層拓展，使學生在掌握知識的同時，受到思想方法的熏陶。