原油市場收益率及其波動率序列的長期記憶性

楊波

摘要：本文通過構建ARFIMA模型、FIGARCH模型及ARFIMA-FIGARCH模型來系統檢驗國際原油市場收益率序列及其波動率序列的長期記憶性特征，結果表明：（1）Brent原油現貨價格對數收益率時間序列當中不存在顯著的長期相依性特征，但是在Brent原油現貨價格對數收益率波動率時間序列當中卻具有極為顯著的長期相依性特征，即長期記憶性特征；（2）采用Student-t分布代替正態分布來刻畫Brent原油現貨價格對數收益率時間序列及其波動率時間序列的“尖峰厚尾”分布性質是極為恰當的，相比之下，Student-t分布能夠更好地捕捉到Brent原油現貨價格對數收益率時間序列及其波動率時間序列中存在的長期記憶性特征。

關鍵詞：國際原油市場收益率；長期記憶性；ARFIMA模型；FIGARCH模型；ARFIMA-FIGARCH模型

一、引言

如果時間序列當中的確存在長期記憶性效應的話，將直接意味著由布朗運動及鞅過程等假設而進一步推導出的標準衍生品定價模型徹底失效。如果某一時間序列當中具有長期依賴性或者說是非周期循環性的長期記憶特征的話，那么非線性結構必然是該時間序列存在長期依賴性的累積結果。

正是因為長期記憶性特征具有極其重要的理論意義和現實意義，因此目前大量的相關研究集中于分析和檢驗諸多金融時間序列及經濟時間序列當中是否存在長期記憶性特征。Sibbertsen通過不同視角的相關研究發現了一些支持在雅典等國家中的股票收益率時間序列當中具有顯著長期記憶性特征的可靠證據。國內的學者李紅權和馬超群以及金秀和姚瑾分別運用修正R/S統計量分析方法及Hurst指數分析方法的實證研究，基本上都不支持在金融資產收益率時間序列當中存在顯著長期記憶性特征的論斷。Hosking利用分數差分噪聲模型進而首次構建了ARFIMA模型，此ARFIMA模型能夠很好地捕捉到金融時間序列及經濟時間序列當中可能出現的長期記憶性特征。另一方面，Engle和Bollerslev在GARCH模型的基礎之上，進一步提出了IGARCH模型。So等強調，與IGARCH模型相比較，FIGARCH模型具有更強的解釋能力。在國內的相關研究當中，王春峰等及王春峰和張慶翠等學者分別通過構建ARFIMA模型及FIGARCH模型，對我國上證綜合指數及深證綜合指數指數時間序列數據進行了系統地研究。此外Teyssiere把ARFIMA模型視作FIGARCH模型中的條件均值方程，從而構建出ARFIMA-FIGARCH模型。在國內的相關研究中，張衛國等基于ARFIMA-FIGARCH模型具體檢驗了深圳股市收益時間序列及其波動率時間序列當中是否存在長期記憶性特征。

本文基于Student-t分布取代正態分布來具體描述國外原油市場收益率時間序列中所顯著具有的“尖峰厚尾”分布性質，進而通過構建ARFIMA模型、FIGARCH模型及ARFIMA-FIGARCH模型來系統檢驗Brent原油現貨價格對數收益率時間序列及其波動率時間序列中是否存在顯著的長期記憶性特征。

二、國際原油市場收益率序列及其波動率序列的長期記憶性分析方法

Hosking等學者利用分數差分噪聲模型進一步首次構建了ARFIMA模型，該ARFIMA模型能夠準確擬合時間序列中具有的強持續性和長期記憶性，基本的線性ARFIMA（p， d， q）模型可以表示為

?（L）（1-L）d（rt-μ）=θ（L）ut（1）

其中，?（L）=1-?1L-…-?pLp和θ（L）=1-θ1L-…-θqLq分別代表p階以及q階的滯后多項式，而L代表滯后算子多項式，rt代表可以觀測到的樣本時間序列，μ代表均值，擾動項ut～iidN（0，σ2），分整算子（1-L）d可以進一步由二項式進行展開，如下

（1-L）d=1-dL+L2-L3+……=Lk（2）

其中，Γ代表伽瑪函數。

為了識別和刻畫時間序列的波動率過程中是否存在長期記憶性特征，Baillie等利用分數差分算子（1-L）d來替換IGARCH模型中的一階差分算子（1-L），0

α（L）（1-L）du2t=ω+[1-β（L）]νt（3）

νt=u2t-σ2t

或者可以進一步表示為

（1-β（L））σ2t=ω+[1-β（L）-α（L）（1-L）d]u2t（4）

其中，α（L）=1-α1L-…-αrLr，β（L）=β1L+…+βsLs。

Teyssiere將包含時變條件異方差的ARFIMA模型視作FIGARCH模型中的條件均值方程，從而構造ARFIMA-FIGARCH模型，以期測度時間序列及其波動率時間序列中的雙長期記憶性效應。本文將基于ARFIMA-FIGARCH模型測度國際原油市場收益率時間序列及其波動率時間序列的長期記憶性特征。在此，我們假設原油市場收益率時間序列為{rt}Tt=1，則ARFIMA（p，dm，q）-FIGARCH（r，dv，s）模型為

?（L）（1-L）（r-μ）=θ（L）u，u～iidN（0，σ）（5）

σ=ω+β（L）（σ-u）+[1-α（L）（1-L）]u（6）

其中，ut代表均值，ω代表常數項。

三、國際原油市場收益率序列及其波動率序列的長期記憶性實證檢驗

我們選取2003年1月至2013年3月期間范圍內的歐洲Brent原油現貨價格月度數據（Pt）來具體度量國際原油價格。進一步計算國際原油市場對數收益率時間序列rt=100[ln（Pt）-ln（Pt-1）]，從而對此收益率時間序列的動態過程進行分析，旨在識別國際原油市場收益率時間序列及其波動率時間序列中是否具有長期記憶性效應特征。數據來自于美國能源情報署網站（http：//www.eia.doe.gov）。

（一）國際原油市場收益率時間序列及其波動率時間序列的長期記憶性檢驗

為了分析Brent原油現貨價格對數收益率的均值過程當中是否存在長期記憶性效應，我們首先基于前文所構建的ARFIMA模型進行具體測度。在此，我們需要遵循Akaike（AIC）及Schwartz（BIC）信息準則來最終確定ARFIMA模型的最優滯后階數。

我們通過比較所構建的ARFIMA模型在不同的滯后階數下而獲得的AIC準則值及BIC準則值的具體估計結果發現，當p=0、q=1時，基于ARFIMA模型估計Brent原油現貨價格對數收益率時間序列長期記憶性效應時最優。表1具體列示出了最優ARFIMA（0，d，1）模型各個參數的最終估計結果。我們發現，從參數d的具體估計值及與其相對應的顯著性結果可以很容易地判斷，Brent原油現貨價格對數收益率時間序列均值過程當中不存在顯著的長期相依性特征。此外，觀察表征尾部分布特征的參數ν的具體估計值及與其相對應的顯著性結果能夠進一步判斷，在此考慮采用Student-t分布十分適合。

我們運用FIGARCH模型具體判斷Brent原油現貨價格對數收益率波動率時間序列當中是否具有長期記憶性特征。在不同的滯后階數下而獲得的AIC準則值及BIC準則值的具體估計結果表明，當r=0、s=1時，基于FIGARCH模型估計Brent原油現貨價格對數收益率波動率時間序列長期記憶性效應時最優。表2具體列出了最優FIGARCH（0，d，1）模型各個參數的最終估計結果，我們發現，從參數d的具體估計值及與其相對應的顯著性結果可以很容易地判斷，Brent原油現貨價格對數收益率波動率時間序列具有當中具有極為顯著的長期相依性特征。此外，觀察表征尾部分布特征的參數ν的具體估計值及與其相對應的顯著性結果能夠進一步判斷在此采用Student-t分布極為恰當。

我們通過構建ARFIMA-FIGARCH模型具體測度Brent原油現貨價格對數收益率時間序列及其波動率時間序列當中是否存在雙長期記憶性特征。在不同的滯后階數下獲得的AIC準則值及BIC準則值的具體估計結果表明，當p=0、q=1、r=0、s=1時，基于ARFIMA-FIGARCH模型估計Brent原油現貨價格對數收益率時間序列及其波動率時間序列雙長期記憶性效應時最優。表3具體列出了最優ARFIMA（0，dm，1）-FIGARCH（0，dv，1）模型各個參數的最終估計結果，我們發現，從參數dm的具體估計值、與其相對應的顯著性結果，以及參數dv的具體估計值、與其相對應的顯著性結果可以很容易地判斷，Brent原油現貨價格對數收益率時間序列當中不存在顯著的長期相依性特征，但是Brent原油現貨價格對數收益率波動率時間序列當中卻具有極為顯著的長期相依性特征。此外，觀察表征尾部分布特征的參數的具體估計值及與其相對應的顯著性結果能夠進一步判斷，在此采用Student-t分布極為恰當。

四、基本結論

基于上述研究，本文獲得如下認識和判斷。

一方面，基于ARFIMA模型的估計，Brent原油現貨價格對數收益率時間序列均值過程當中不存在顯著的長期相依性特征。基于FIGARCH模型的估計，Brent原油現貨價格對數收益率波動率時間序列具有當中具有極為顯著的長期相依性特征。基于ARFIMA-FIGARCH模型的估計，Brent原油現貨價格對數收益率時間序列當中不存在顯著的長期相依性特征，但是Brent原油現貨價格對數收益率波動率時間序列當中卻具有極為顯著的長期相依性特征。

另一方面，J-B正態檢驗統計量估計結果及與J-B正態檢驗統計量相應的概率P值的具體結果說明，Brent原油現貨價格對數收益率時間序列顯著拒絕服從正態分布的原假設。然而，通過具體估計所構建的ARFIMA模型、FIGARCH模型以及ARFIMA-FIGARCH模型尾部參數值及其顯著性結果表明，本文采用Student-t分布代替正態分布來刻畫Brent原油現貨價格對數收益率時間序列及其波動率時間序列的“尖峰厚尾”分布性質是極為恰當的。

參考文獻：

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[13]Teyssiere. G. Double Long- Memory Financial Time Series[J]. Paper Presented at the ESEM， Toulouse，1997.

（作者單位：吉林大學商學院）