基于卡爾曼濾波的基波分量的提取

摘要：為保證繼電保護準確動作的要求，國內外學者對卡爾曼濾波進行了廣泛的研究。文章是在學習卡爾曼濾波原理（KFT）基礎上，進行卡爾曼濾波器的研究和設計。文章對卡爾曼濾波原理和短路過程基頻電壓、電流作了詳細的分析，之后建立了電流、電壓的數學模型，利用卡爾曼濾波原理（KFT）算法，對電流、電壓進行估計。

關鍵詞：卡爾曼濾波器；控制輸入；電力系統

中圖分類號：TM466 文獻標識碼：A 文章編號：1009-2374（2013）12-0082-02

電力系統發生故障時，自動地、快速地、有選擇性地切除故障設備，保證系統其余部分迅速恢復正常運行，并使故障設備不再繼續遭到破壞。當電力系統發生不正常工作情況時，及時準確地發出報警信號，以便運行人員及時處理，防止不正常情況繼續持續或發展成為故障。故障信號中含有諧波分量和衰減直流分量，目前，大多數繼電保護以故障后的穩態基頻分量作為判據，如何從故障暫態信號中快速、準確地對基頻電流、電壓進行估計是微機繼電保護面臨的主要問題。常見的微機保護算法有傅立葉算法、采樣和導數法、卡爾曼濾波算法和半周積分法等。

卡爾曼濾波器在1960年由R.E.Kalman發現，由于在數字計算發展中的進步，卡爾曼濾波器是有廣闊研究應用前景的科目。卡爾曼濾波提供了一種從間接測量中分析缺少的信息的方法。當動態系統是線性的并且當各種噪聲因素特性的統計已知，卡爾曼濾波提供了最佳狀態估計方法。近些年來，一些基于卡爾曼濾波理論的新機算法已引入微機繼電保護領域中，卡爾曼濾波算法適用于平穩過程也適用于非平穩過程，對噪聲有很好的抑制作用，且能成功濾除非整數倍諧波，被廣泛應用于頻率跟蹤、諧波分析等場合，卡爾曼濾波算法在數據窗暫態條件下能夠給出基波分量的最優估計，隨著微機的快速發展，卡爾曼濾波算法得到了越來越廣泛的應用。

1 離散卡爾曼濾波原理

在實際的動態系統中，除了非隨機的控制輸入U外，還有隨機擾動輸入w（k），例如外界干擾或系統建模誤差等都可列為w（k）。這種擾動又稱為動態噪聲。作用于動態系統上的隨機干擾除了動態噪聲外，還有系統產生的量測噪聲v（k），它一般作用在系統的出口。離散線性系統模型如下：

離散卡爾曼濾波器回歸的產生能由5個等式表達，能用下面的方法實現：

（1）狀態估計外推法：

（10）

（2）協方差估計外推法：

（11）

（3）卡爾曼濾波器增益：

（12）

（4）狀態估計校正：

（13）

（5）協方差估計校正：

（14）

表示狀態估計，由增值方程式單獨產生。是有相互關系的狀態的估計，說明測量和PK/K-1及PK都同樣被定義了。

卡爾曼濾波算法需要給出系統的初始狀態、

R（0）以及常數矩陣Q、R。初始狀態對卡爾曼濾波算法性能好壞幾乎沒有影響。因此，在參數選取過程中，協方差矩陣 、Q、R參數的選取是關鍵，其合理與否直接影響著系統的運行性能和收斂程度。卡爾曼濾波計算流程圖及濾波框圖如圖1、圖2所示。

噪聲對系統狀態及測量造成一定的影響，使信號波形產生一定的變化，所以要想辦法抑制噪聲對信號的影響，將公式（2）代入公式（1），且設非隨機的控制輸入U為零，則有：

可以看出，若消除或減弱噪聲信號的影響，再現系統的理想狀態，可令-CKwK-1=vK，這在matlab等仿真軟件中是不難實現的。但在實際的控制系統中，由于測量噪聲及系統噪聲具有不確定性，實際消除噪聲的影響是很難實

現的。

2 數學模型

系統故障信號中含有基頻分量、高頻分量、隨指數衰減的暫態分量及服從高斯分布的噪聲信號，基頻分量在繼電保護中起著舉足輕重的作用，為了從故障信號中提出基頻分量，即短路后的穩態分量，必須建立相應的狀態空間模型和觀測模型。本文采用帶有未知幅值和相角的向量表示基頻分量，并假定向量是靜止的，參考坐標軸以頻率旋轉，這樣，分量的瞬時值線性方程為：

X（t）=X0+A·sin（ωt+φ）=X0+A·cosφsinωt+Asinφcosωt

=X0+X1sinωt+X2cosωt

在上述假定條件下，X0為隨指數衰減的暫態分量，X1和X2是恒定的，當采樣周期為Ts時，且考慮噪聲信號，則系統狀態方程為：

X（K+1）=A（K）·X（K）+W（K），

觀測方程為：

式中：V（K）用來表示暫態分量以及測量誤差。

動態系統數學模型確定之后，進一步要建立噪聲信號模型及確定它們的協方差矩陣Q、R，卡爾曼濾波算法是一套遞推關系式，要求給出初始估計值X（0）、K（0）來啟動遞推過程。濾波參數的選取是決定卡爾曼濾波性能好壞的關鍵，在使用過程中，大多數是用試湊的方法來實現的，P（0）的選取對濾波性能好壞沒有影響，可取短路前的狀態值也可取過程均值為零。在電氣設備故障保護中可取X（0）=0，取P（0）為單位陣，負荷變化引起的噪聲方差Q影響很小，可忽略不計，可取W≈0，R=R0e-kTs/τ，一般R（0）取0.001～0.005，τ取25～45。

在具體的繼電保護程序中，由于R是在程序中已經給出，那么根據-CKwK-1=vK來確定Q的值是很容易的事情，由此基本可以使負荷引起的噪聲與測量噪聲相互消除，使基波分量更加趨于平滑，實現再現的目的。

3 結語

基于卡爾曼濾波的基波分量的提取在很多文獻中已經做了大量的研究，本文不再做過多的敘述，卡爾曼濾波算法的迭代過程較為復雜，但由于在求解時不需要貯存大量的觀測數據，并且當得到新的觀測數據時，可隨時算得新的參數濾波值，便于實時地處理觀測結果，因此，卡爾曼濾波被越來越多地應用于動態數據處理中。本文通過卡爾曼濾波算法來提取基波分量，并提出了用測量噪聲來減小系統噪聲的方法，進一步提高了運算精度，這可以在DSP這類數字平臺上實現。

參考文獻

[1] 張靜，徐政.基于卡爾曼濾波誤差的電能質量擾動檢測[J].電力系統及其自動化學報，2006，18（5）.

[2] 李斌，李永麗，賀家李.一種提取基波分量的高精度快速濾波算法[J].電力系統自動化，2006，30（10）.

[3] Girgi s， A diy A. Application of KaimaⅡ Filterlng in Computer ReIaying[J]. IEEE TrsnsaCti OIlS On Po er A pparatUs and Sy stem， PA S=100， NO.7：3387-3395.

[4] A.A.Girgis and R.G Brown.Application of Kalman Filtering in Computr Relaying[J].IEEE Transaction Power Apparatus and Systems，1981，Vol pas-100 No.7.

[5] 胡壽松.自動控制原理[M].北京：科學出版社，2001.

[6] 余九祥.微機保護中卡爾曼濾波模型參數的選擇[J].電力系統自動化，1993，17（2）.

[7] 孫旭霞，郭永勝.基于小波-卡爾曼濾波的基波分量提取[J].電力系統及其自動化學報，2012，24（4）.

[8] 張哲，陳德樹.自適應卡爾曼濾波在計算機繼電保護中的應用[J].繼電器，1991，（1）.

[9] 張斌，張東來.電力系統自適應基波提取與頻率跟蹤算法[J].中國電機工程學報，2011，31（25）.

作者簡介：李騰飛（1975—），男，河北玉田人，中色科技股份有限公司工程師，碩士，研究方向：電氣設備。

（責任編輯：文 森）