基于VRP、NS、Svensson模型的債券估值偏離程度實證分析

朱昱穎 周石鵬

摘要：雖然目前債券市場正處于高度發展期，但國內債券市場因流動性、交易制度等方面的不發達而嚴重制約了二級市場的交易活躍程度。銀行間債券市場交易主要采用一對一詢價模式，鑒于交易信息的不平衡，個別債券非常容易產生估值的偏離。此外，當前國內債券市場并沒有提供“連續”的利率期限結構，客觀上催生了債券估值的難度。本文從微觀價格角度出發，通過三種不同模型的實證分析對比，對債券市場個券的高、低估狀態進行度量。

關鍵詞：VRP模型、NS模型、Svensson模型、債券估值

一、引言

中央國債登記結算有限責任公司自1999年開始編制中債收益率曲線，提出了債券收益率曲線構建模型，以期最大限度的反映出中國債券市場上債券不同期限的真實收益率水平，為市場提供客觀、中立的收益率參考標準。中債收益率曲線的數據包括了銀行間債券市場結算數據、交易所債券的成交數據、債券柜臺的雙邊報價、銀行間債券市場的雙邊報價以及市場成員收益率的估值數據。在目前中國債券市場中債券價格發現機制還不完備的情況下，中債收益率曲線重點參考了中國債券市場中部分核心成員的收益率估值數據，目前已經有50多家市場成員收益率的估值數據[1]。中債收益率曲線的構建模型選取的是Hermit插值模型。

二、模型介紹

1. Nelson-Sigel（NS） 、Svensson、VRP模型介紹

目前債券市場上投資者更多關注的是到期收益率曲線，尤其是中債到期收益率曲線，以此對個券進行定價。事實上，由于票息效應的存在，這種定價方法其實是不合理的 [2]。

此外，中債到期收益率曲線模型本身也值得斟酌。到期收益率構建過程中，需要確定一些固定的個券，而如何確定這些個券其實本質已經決定了到期收益率曲線的形狀，毫無疑問，這樣的處理方式值得推究--Hermit模型常被用于早期債券市場成交個券數據較少的情形，成熟的債券市場中Hermit模型使用其實非常少 [3]。”

在成熟的國債市場上，為剔除票息因素，更多的是使用平價收益率曲線，因此，債券估值分析的基石是即期收益率曲線，而不是到期收益率曲線。 即期收益率的構建本質上是一個最優化問題：首先，設定帶有參數的即期收益曲線函數類型，不同的曲線類型便構成了不同的模型。其次，確定最優參數，保證目標函數值最小。目標函數常為實際價格與理論價之間的加權平均值，但目標函數的具體形式應模型的不同也可以略有差異。

利用參數技術擬合利率期限結構主要是采用指數衰減型函數來估計遠期瞬間利率 ，該技術首先由 Nelson和 Siegel[4-6]提出 ，其具體函數形式為：

其中， f（t，t+m ）表示t時刻所計算的在 t+m時刻起息的遠期瞬間利率， 、 、 、 分別表示利率的長期水平、 短期水平、 收益率曲線的斜率以及駝峰形狀.

NS模型能夠較好地估計形狀相對簡單的收益率曲線，但對于復雜的利率期限結構，該方法的擬合優度較差[7].由此， Svensson[8]在式NS模型的基礎上增加了一項，即

該新增項加強了估計雙駝峰狀收益率曲線的能力，提高了擬合效果。NS模型和Svensson模型采用了確定形式的擬合函數，參數估計較為簡單，但這兩個模型對收益率曲線長短期兩端的數據變動十分敏感，某個數據的較大變動都很可能對整個利率期限結構的估計產生很大的扭曲，因此穩定性較差，此外，這兩種方法所估計的債券價格誤差也較大[9-10]。

VRP（Variable Roughness Penalty）模型的函數類型是三次樣條插值形式： ， ，其中，i=1，2…N，為分段端點。 為需要最優化的參數。其最優化目標函數為

式中， 表示通過擬合 進而估計的第 個債券的理論價格， 為債券的麥考利久期， 和 為粗糙度懲罰項[11]。

2.實證過程中的影響因素分析

個券高低估值分析是對初始信息和異常值極其敏感的指標，本文列出具體實證過程中考慮到的影響因素，希望盡量保證研究結果的客觀有效性：

（1）由于研究目的是債券估值與實際交易價之間的偏離程度，因此要剔除沒有成交的債券。

（2）考慮到MATLAB內置最優化程序的算法復雜度和計算機本身的性能問題，當輸入樣本過多時，運行速度會幾何級上升。因此要剔除一定比例的樣券，將債券數目控制在一定范圍內。

（3）目前，MATLAB中的債券定價函數僅限于計算固定利率的附息債券，因此，對于浮動利率債券、累進利率債券和貼現債券，一律剔除不予考慮。

（4）本文主要利用MATLAB和Wind金融數據庫進行債券的量化分析工作。MATLAB中對于債券日期的默認設置為SIA（美國證券業協會）的標準（默認參數為0），而非ISMA（國際證券協會）的標準（默認參數為8）。其中，SIA收益率為年化的半年收益率， 而ISMA收益率為年化的整年收益率，本文在數據處理過程中采用的是ISMA標準。

（5）短債利率可視為貨幣市場的貼現利率，而超長債的流動性較差，成交少，計入樣本池進行分析容易對不同交易日的市場均衡態分析造成一定的噪聲影響。因此，短債和超長債應當剔除。

三、結果分析

以2013年5月15日交易數據為例進行實證測算，結果如圖1、圖2、圖3、圖4。

當理論收益率-實際收益率>7bp時，債券被高估；當理論收益率-實際收益率<-7bp時，債券被低估；其余情況，債券定價合理。

圖1：國債個券的估值高低表

數據來源：Wind金融數據庫

圖2：金融債個券的估值高低表

數據來源：Wind金融數據庫

圖3：國債VRP、NS、Svensson模型對比

圖4：金融債VRP、NS、Svensson模型對比

從擬合結果（圖3、圖4）可以看到，不管是國債還是金融債，VRP模型的債券偏離程度指標均為最低，擬合效果最好。事實上，VRP作為分段樣條插值函數模型，相比于NS和Svensson的連續函數模型，具備高擬合性、連續光滑的優點。此外，從估值合理個數角度來看，國債25個樣本中，偏離個數比例約為36%，相比于NS和Svensson模型的96%、80%比例更合理。金融債25個樣本中，偏離比例約為40%，相比于NS和Svensson模型的96%、88%更合理。

參考文獻：

[1]郭濤，宋德勇.中國利率期限結構的貨幣政策含義.經濟研究 ，2008（3）：47-51

[2]張屹山，張代強.包含貨幣因素的利率規則及其在我國的實證檢驗.經濟研究，2008（12）：30-35

[3]林海，鄭振龍.利率期限結構研究評述.管理科學學報.2008，10（1）：79-93

[4]陳芳菲，沈長征.Nelson - Siegel模型與國債收益率曲線的預測.統計與決策，2006（2）：27-32

[5]C.Nelson， A.Siegel. Parsimonious modeling of yield curves. Journal of Business.1987，60（4）：473-489

[6]L.Marangio， M.Bernaschi. A review of techniques for the estimation of the term structure. International Journal of Theoretical and Applied Finance.2002，5：189-221

[7]胡海鵬，方兆本.中國利率期限結構平滑樣條擬合改進研究.管理科學學報，2009（2）：55-59

[8]L.E.Svensson. Estimating forward interest rates with the extended Nelson & Siegel method. Quarterly Review.1995，（3）：13-26

[9]何啟志，何建敏，陳姍姍.利率期限結構指數樣條模型實證研究.管理科學.2008，21（1）：100-107

[10]宋永安，陸立強.非參數利率期限結構動態模型及衍生品定價.復旦學報.2008，47（2）：213-219

[11]王烜.結構轉換條件下利率期限結構建模及應用研究.博士學位論文，哈爾濱工業大學.2008