基于最優控制理論的銀行貸款動態定價研究

劉煥鵬 嚴太華

摘 要：商業銀行貸款定價問題得到了廣泛的研究，其不足之處是只考慮了商業銀行的短期最優定價行為。本文針對信貸市場的動態性和商業銀行的長期最優貸款定價行為，應用最優控制理論對商業銀行的長期最優貸款定價問題進行了研究。通過將銀行貸款定價的長期最優化決策描述成一個標準的最優控制問題，并采用Matlab11.0對上述最優控制問題進行求解和數值模擬。研究結果表明，在利率市場化條件下，信貸市場不僅會存在“道德風險”和“逆向選擇”，而且銀行之間的貸款定價不存在納什均衡。

關鍵詞：最優控制；利率市場化；貸款定價

中圖分類號：F832.4 文獻標識碼：A〓 文章編號：1003-9031（2013）08-0013-04 DOI：10.3969/j.issn.1003-9031.2013.08.03

一、引言

隨著社會主義市場經濟的迅速推進，我國商業銀行貸款利率日益市場化。而許多商業銀行長期以來貸款定價的主要依據仍然是企業的信用等級和還款能力，沒有形成系統的、科學的貸款定價機制[1]。商業銀行對貸款利率是否進行浮動或浮動多少一般都缺乏規范、精細的標準，其利率浮動的幅度通常也不能反映借款人的信用水平及貸款項目風險程度[2]。因此，隨著市場經濟的發展，建立定量化的定價機制以靈活地應對復雜多變的市場環境勢在必行。

在利率市場化條件下，商業銀行貸款定價不是通過中央優化集中來決定的，而是通過市場競爭機制分散決定的[3]。在利率市場化程度較高的西方發達國家，商業銀行貸款定價機制主要有成本相加定價機制、客戶盈利分析模式等。但是，這些方法只考慮了貸款價格的短期優化決策或銀行發放貸款的短視行為，即認為在信貸市場中，貸款定價在每個決策時期都是獨立的，優化的目標為單個時期的利潤最大化。實際上，貸款需求會隨著經濟的波動而變化，這種變化又會造成信貸市場的波動。因此，可用動態系統模型來描述商業銀行貸款的定價機制。給定系統的這種動態性，商業銀行的信貸定價機制實際上就是一個最優控制問題。

在競爭的信貸市場中，商業銀行首先向市場發出各自的貸款價格。企業根據市場上的貸款報價和利潤最大化原則決定接受某家銀行的貸款，并通過信貸市場將這一信息反饋給銀行，直至信貸市場供需平衡，市場出清。市場出清后，每家商業銀行知道了信貸市場的市場出清價格，在下一輪定價中，商業銀行會基于這些市場信息來調整自己的貸款價格以獲取更多利潤。因此，把信貸市場的競價過程視為一個動態反饋系統能夠更好的描述這一機制。此動態反饋過程，可以通過圖1來反映。

本文通過對利率市場化條件下貸款定價的動態反饋性進行描述，并假設企業貸款的目標是為了獲得貸款投資收益最大化，然后在這一假設基礎上求出商業銀行面臨的信貸需求的動態方程。將動態方程中的市場信貸需求作為狀態變量，信貸價格作為控制變量，得到一個標準的非線性動態系統的最優控制問題，并采用Matlab11.0對上述最優控制問題進行求解和數值模擬。

二、系統方程描述

在這一部分，我們應用最優控制理論構建一個企業貸款投資收益最大化模型。為方便分析，在此假設信貸市場不存在不確定性。特別的，在我們的描述中，信貸市場的動態性將被考慮在內。然后我們在企業貸款投資收益最大化模型的基礎上構建描述商業銀行貸款定價動態機制的最優控制理論模型。

（一）企業貸款投資收益最大化模型

假設信貸市場存在n家商業銀行，在競爭性信貸市場中，商業銀行發放貸款供需平衡，市場正好出清。而商業銀行產品差異僅為信貸價格間的差異，即商業銀行之間僅僅能夠通過貸款價格的調整來參與市場競爭。我們假定商業銀行i面臨的信貸市場的需求函數，也即對應的企業i對貸款的需求函數為：

其中，qi是商業銀行i面臨的信貸需求，即企業i的貸款需求；ri是商業銀行i的貸款價格，即貸款利率；ai，bi 為商業銀行i發放貸款的需求參數；dij為不同商業銀行信貸產品的替代系數；rj為商業銀行i以外的其他銀行的貸款利率。

假定銀行和企業用有相同的生產成本函數，假定都是線性的，即

其中，C（qi）為企業的生產成本，該函數包含了企業貸款的利息支出等費用。為了分析方便，我們假設ci對企業來講是相同的值，對各商業銀行來講各不相同。

假定企業貸款的投資收益率為r，則企業向銀行借款的利潤最大化函數為：

其中，qi是r的函數。對式（3）中的企業投資收益率一階求導，得到滿足企業利潤最大化的一階最優條件，即：

解得：

企業向銀行貸款時，只有滿足式（5）時才能達到利潤最大化，即企業滿足該條件時企業才會向銀行借款，也只有滿足該條件時銀行發放的貸款才會有需求。在這里，我們可以把1/（r-ci）稱為銀行i的貸款調整因子或貸款調整強度。式（5）意味著銀行只有按照該條件調整貸款時才能獲得更多的利潤。

（二）商業銀行貸款的最優控制模型

在目前使用的定價方法中，商業銀行主要關注的是個體單個時期內的最優，目標函數是單期利潤最大化，即：max？仔■（t）。而長期最優意味著經營期內的利潤之和最大化，即max■？仔■（t）dt。如果系統總是靜態的或者只考慮單個時期內的利潤最大化，則各期的利潤是獨立的，此時單期利潤的最大值之和等于利潤最大值的和，即max■？仔■（t）dt = ■max？仔■（t）dt。然而，各期利潤可能不是獨立不相關的，所以各期利潤之和的最大值應該大于各期最大利潤的和，即max■？仔■（t）dt >■max？仔■（t）dt。在動態系統中，長期最優被用來研究最優控制問題。接下來，我們將闡述最優控制在貸款定價中的應用。

據上所述，使用長期最優控制考慮了系統動態性是更加合理的。在這一部分，最優控制問題將被描述成單個銀行i進行長期最優決策的目標是使各期利潤之和最大化，即：

目標函數式（6）受約束于式（5）。因此，式（5）和式（6）構成了商業銀行長期貸款最優決策的最優控制系統。式（5）為狀態方程，式（6）為目標函數。ri為控制變量，qi為狀態變量。即：

式（7）即為反映商業銀行貸款長期動態定價機制的最優控制模型。通過求解該模型，我們可以得到商業銀行貸款定價的均衡解和商業銀行貸款利率與企業貸款投資收益率之間的關系。

三、模型求解與數值模擬

（一）模型求解

為了求解上述最優控制問題，我們構造如下漢密爾頓函數：

其中， λi（t）為協態變量。

式（8）兩邊對ri（t）求一階導數并令其為零，得到漢密爾頓函數的最優性條件：

式（9）兩邊對qi（t）求一階導數得到漢密爾頓函數的共態方程：

漢密爾頓函數式（8）的橫截性條件為：

通過對式（9）、式（10）求解，可以得到式（12）和式（13）：

式（15）即為商業銀行i貸款利率調整所需要遵循的動態方程。對其他n-1家銀行進行類似分析，可得到一個n維動態系統。顯然可以表示為n個微分方程，即為n家銀行進行信貸價格調整的動態系統。若將有關參數代入，則可得到每家銀行信貸定價的調整過程，通過其特征值還可以判斷商業銀行利率是否存在均衡。

為了便于分析，我們假設只有兩家銀行，銀行1和其以外的其他銀行，即銀行2。于是可將（16）式化為微分方程組：

化簡上式得：

式（17）中，當r1'=0，r2'=0時，對應的方程組的解即為商業銀行1和其他商業銀行2進行信貸競爭的均衡利率 （r1*，r2*）。該均衡解滿足：

通過對式（18）進行數值模擬可以得到商業銀行貸款利率與企業貸款投資收益率之間的關系。

（二）數值模擬

在這一部分，我們對商業銀行在利率市場化條件下的貸款定價進行數值模擬。首先，我們給定銀行1和其他銀行2的各項參數（如表1）。

將參數代入式（17），我們可以求動力系統的特征根和特征向量。通過使用Matlab11.0我們求出動力系統的特征值為為0.0270和0.0030。有動態系統的奇點理論可知，當兩個特征根同為正值時，是不穩定的。因而我們可以判斷商業銀行貸款定價不存在納什均衡。

將參數代入式（18），可以得到商業銀行貸款利率與企業貸款投資收益率之間的關系（見圖2）。從圖中可以看出，當企業貸款投資收益率不超過某個臨界值時，企業貸款投資收益率高于商業銀行貸款利率，利率隨企業貸款投資收益率的增加而上升，而且商業銀行1和2的利率基本相同。當企業貸款投資收益率超過一定臨界值時，企業貸款投資收益率開始下降，且銀行利率隨著企業貸款投資收益率的下降而增加，商業銀行的貸款利率將超過貸款投資收益率。

出現這樣的原因主要是，當企業貸款投資收益率在一定臨界值之內時，表明社會經濟處于正常的穩定運行狀態，產品市場供需穩定，企業貸款投資收益率穩步提高，商業銀行貸款供需平衡，因此，銀行利率隨著企業投資收益率的上升而上升。銀行利率隨著企業投資收益率的下降而上升是因為隨著經濟的發展，市場經濟運行逐漸出現失衡，此時企業產品銷售不暢，企業貸款投資收益率降低，銀行信貸風險增加，因此，銀行會提高利率對沖風險。預期還款可能性較高的優質企業雖然經營風險小，但是由于利潤率偏低，不能獲得正常的貸款；相反，預期還款可能性較低的高風險企業，反而能夠獲得銀行貸款，所以此時企業貸款投資收益率下降而銀行貸款利率上升，出現了“逆向選擇”行為。同時，高利率會誘使企業從事高風險的項目，放棄從事低風險的項目，從而使得信貸市場出現 “道德風險”行為。這就使得商業銀行在較高的利率水平上拒絕了一部分優質貸款，使得貸款利率的上升提高了銀行的平均信貸風險，降低了預期收益率。這說明，即使在利率市場化條件下，也會存在斯蒂格利茨所說的“道德風險”和 “逆向選擇”。

四、結論

本文將信貸市場描繪成動態反饋市場，將貸款定價機制描述成一個動態的、非線性的系統。根據企業利潤最大化原則建立了商業銀行貸款定價動態的、非線性的最優控制模型。并使用Matlab11.0進行了求解和數值模擬。研究結果表明，在利率市場化條件下，商業銀行貸款定價并不存在納什均衡點。而且，在市場經濟正常運行的條件下，商業銀行貸款供需平衡，貸款利率一般低于企業貸款投資收益率，并隨著企業貸款投資收益率的上升而增加。而當市場經濟運行失衡時，企業貸款投資收益率降低，貸款利率隨著投資收益率的下降而上升，使得正常企業無法獲得貸款，而高風險企業卻因為不懼利息高而能夠獲得貸款，信貸市場便會出現逆向選擇和道德風險。

（責任編輯：湯戈于）

參考文獻：

[1]李麗瀅，劉鐘欽.利率市場化條件下農村信用社的貸款定價研究[J].商業研究，2006（23）：162-165.

[2]關大宇.我國商業銀行貸款定價的最優化模型設計[J].金融論壇，2006（3）：52-57.

[3]字如鈞，郝云康，崇凌俊.范向前.國有商業銀行貸款定價模型構建分析[J].云南財經大學學報，2011（3）：119-227.