數學思想方法及在教學中的應用

韓媛媛　姚占平

數學本身具有嚴密的邏輯性、高度的抽象性和應用上的廣泛性。數學知識的傳授是引導學生觀察比較、分析綜合、分類歸納、抽象概括的過程。這引起活動的展開，不僅可以培養學生的邏輯思維能力、動手能力，而且可以促進學生的良好學習習慣、頑強的學習意志等非智力因素的形成與發展。只重視講授知識，而不注重滲透數學思想方法的教學，是不完備的教學，它不利于學生對所學知識的真正理解和掌握，，使學生的知識水平永遠停留在一個初級階段。反之，如果單純強調數學思想和方法，而忽略甚而知識的教學，主會使教學流于形式，學生也難以走訪領略到深層知識的真諦。數學教學應與整個基礎知識的講授融為一體，使學生逐步掌握有關的深層知識，提高數學能力，形成良好的數學素質。

一、數學思想方法的分類

1.函數與方程的思想方法。函數思想指的是提到問題的數學特征，用聯系變化的觀點提出數學，抽象其數學特征，建立函數關系。很明顯 ，只有在對問題的觀察、分析、判斷等一系列的思想過程中，具備有標新立異、獨創性思維，才能構造出函數原型，化歸為方程的問題，實現函數與方程的互相轉化接軌，達到解決問題的目的。

2.數形結合的思想方法

數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維形象思維結合，通過對圖形的認識，數形結合的轉化，可以培養思維的靈活性，使問題化難為易，化抽象為具體。

3.分類討論的思想方法

分類討論是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數學思想，這種思想在人的思維發展中有著重要作用。如“參數問題”對中學生來說并不十分陌生，它實際上是對具體的個別的問題的概括。從絕對值、算術根以及在一般情況下討論字母系數的方程、不等式、函數，到曲線方程等，無不包含著討論的思想。

4.等價轉化思想

等價轉化思想是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題，是一種重要數學思想方法，轉化包括等價轉化和非等價轉化，等價轉化要求轉化中前因后果應是充分必要的，這樣的轉化后的結果仍為原問題所需的結果：而非等價轉化其過程是充分或必要的，這樣的轉化能給人帶來思維的閃光點，看到解決問題的突破口，是分析問題中思維過程的主要組成部分。轉化思想貫穿于整個高中數學之中，每個問題的解題過程實質就是不斷轉化的過程。

二、數學思想方法教學的主要途徑

數學思想方法是數學概念、理論的相互聯系和本質所在，是對數學規律的理性認識和本質體現。初、高中的銜接不僅僅是知識點的銜接，更是思想方法、思維習慣、學習習慣、學習方法的銜接。因此，要培養學生的數學能力，就必須重視數學思想方法的教學。學生在數學學習中掌握了數學思想方法，既可以提高理論水平，又可以用它指導做題實踐，而在做題反思中，學生的數學思想方法又得以不斷充實、豐富和完善。

為了使學生掌握必要的數學思想方法，需要從教材和教法兩方面有機結合進行，在教材中要滲透數學思想方法，在教法中要應用數學思想方法。數學思想方法的教學要結合教學內容進行，不能脫離教學內容只傳授形式。脫離了數學思想方法指導的教學和脫離了內容的數學思想方法的教學都是不全面的教學。數學思想方法蘊含在數學基礎知識和基本方法之中，正是有了數學思想方法，才使得數學知識不再是零散的、孤立的片斷。學生如果掌握了基本的數學思想方法，數學將變得更加容易理解和記憶，他們駕馭知識的能力也更強了，而且會使其它學科更容易學了。

高中數學中所用的數學思想方法有函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想、或然與必然思想、整體思想、對稱思想、換元思想、極限思想、參數思想、建模思想等。數學思想方法的掌握要靠平時的積累，臨時抱佛腳是行不通的。

1.用數學思想指導基礎復習，在基礎學習中培養思想方法

（1）基礎知識的復習中要充分展現知識形成發展過程，揭示其中蘊涵的豐富的數學思想方法。如討論直線和圓錐曲線的位置關系時的兩種基本方法：一是把直線方程圓錐曲線方程聯立，討論方程組解的情況；二是從幾何圖形上考慮直線和圓錐交點的情況，利用數形結合的思想方法，使問題清晰明了。

（2）注重各知識點在教學整體結構中的內在聯系，揭示思想方法在知識互相聯系、互相溝通中的紐帶作用。如函數、方程、不等式的關系，當函數值等于、大于或小于一常數時，分別可得方程、不等式，聯想函數圖象可提供方程、不等式的解的幾何意義，運用轉化、數形結合，這三塊知識可相互為用。

2.用數學思想方法指導解題練習，在問題解決中運用思想方法，提高學生自覺運用數學思想方法的意識

（1）注意分析探求解題思路運用

解題的過程中就是在數學思想的指導下，合理聯想提取相關知識，調用一定數學方法加工、處理題設條件及知識，逐步縮小題設與題斷間的差異的過程。也可以說是運用化歸思想的過程。解題思想的尋求就自然是運用思想方法分析解決問題的過程。

（2）注意數學思想方法在解決典型問題中的運用

例如選擇題中的求解不等式 ，雖然可以通過代數方法求解，但若用數形結合，轉化為直線與半圓的位置關系，問題變得非常簡單。

（3）以數學思想方法為指導，進行一題多解的練習

這種對習題靈活變通、引伸推廣的做法，能有效地培養學生思維的發散性、靈活性、深刻性和抽象性。

數學思想方法是高考考查的重點和熱點，我們在數學教學的每一個環節中，都要重視數學思想方法的教學。學生對數學思想方法的掌握是螺旋式上升的，不能一蹴而就，而應當針對學生的認知水平，結合數學教學內容自然而然地、潛移默化地進行，是“潤物細無聲”的過程。