函數的應用知識點及考點解讀

王國平

一、知識點解讀

1.函數的零點

（1）函數零點的定義：對于函數y=f（x），我們把使f（x）=0的實數x叫做函數y=f（x）的零點。（2）幾個等價關系：方程f（x）=0有實數根函數y=f（x）的圖像與x軸有交點函數y=f（x）有零點。（3）函數零點的判斷（零點存在性定理）：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根。

2.二分法求方程的近似解

（1）二分法的定義：對于在區間[a，b]上連續不斷且f（a）·f（b）<0的函數y=f（x），通過不斷地把函數f（x）的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法。（2）用二分法求函數f（x）零點近似值的步驟如下：①確定區間[a，b]，驗證f（a）·f（b）<0，給定精確度ε。②求區間（a，b）的中點c。③計算f（c）。若f（c）=0，則c就是函數的零點；若f（a）·f（c）<0，則令b=c（此時零點x0∈（a，c））；若f（c）·f（b）<0，則令a=c（此時零點x0∈（c，b））。④判斷是否達到精確度ε。若|a-b|<ε，則得到零點近似值a（或b）；否則重復②③④。

3.常見的函數模型

（1）一次函數模型：f（x）=kx+b（k、b為常數，k≠0）。（2）反比例函數模型：f（x）=kx+b（k、b為常數，k≠0）。（3）二次函數模型：f（x）=ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）。（4）指數函數模型：f（x）=abx+c（a、b、c為常數，a≠0，b>0，b≠1）。（5）對數函數模型：f（x）=mlogax+n（m、n、a為常數，a>0，a≠1）。（6）冪函數模型：f（x）=axn+b（a、b、n為常數，a≠0，n≠1）。（7）分段函數模型：這個模型實際是以上兩種或多種函數模型的綜合，因此應用也十分廣泛。（8）函數y=x+ax（a>0）模型的應用。

說明：二次函數模型是高中階段應用最廣泛的模型，在高考的應用題考查中最為常見。隨著新課標的實施，指數函數模型、對數函數模型將會起到越來越重要的作用，在高考的舞臺上將會扮演愈來愈重要的角色。

4.幾類不同增長的函數模型及其增長差異