函數問題中常見錯解簡析

李軍

摘要：函數問題是高中數學的重要內容，是學習高中數學的難點，也是歷年高考的重點。在函數問題的解答過程中，必須引導學生全面分析問題，以防出現漏解或錯解。筆者現結合教師近幾年的教學情況，對這些問題進行總結。

關鍵詞：函數問題；常見錯解；簡析

函數問題中常見錯解有以下幾類：

一、函數概念掌握不牢致錯

例1.下列四個圖形中，不可能表示函數y=f（x）圖像的是（ ）

A B C D

錯解：選A

錯解分析：誤選A主要是由于對函數概念掌握不牢造成的，函數概念要求對任意x都有唯一的y與之對應，A項雖然存在相同的y值對應不同的x值，但是它滿足函數概念的要求，所以它能表示函數y=f（x）的圖像。

正確解法：根據函數的概念，是要求對每一個x只都有唯一的y值與之對應，選項A、B、C都滿足這些特點，而D中圖形的每一個x（x=0除外）值對應有兩個y值，不符合函數的定義，故選D。

二、函數性質掌握不牢致錯

例2.判斷函數f（x）=■的奇偶性。

錯解：∵f（x）=■

∴f（-x）=■=■=-f（x）

∴f（x）為奇函數。

錯解分析：誤將原函數化為f（x）=■，忽略定義域。

正確解法：由x（x-6）≠0得定義域為{x|x≠0且x≠6}，定義域關于原點對稱，因此f（x）為非奇非偶函數。

三、忽視了函數的定義域致錯

例3.求函數y=log0.6（x2-3x+2）的單調區間及增減性。

錯解：令μ=x2-3x+2，由二次函數的單調性可知，當x∈（-∞，■]時，μ（x）為減函數，當x∈[■，+∞）時，μ（x）為增函數。

又y=log0.6 μ為減函數，依據復合函數的單調性知，在x∈（-∞，■]上原函數為增函數，在x∈[■，+∞）上原函數為減函數。

錯解分析：對數函數要有意義，必須使真數x2-3x+2>0，即x>2或x<1，所以錯解中所對應的單調區間是錯誤的。

正確解法：由μ=x2-3x+2>0得x>2或x<1，結合二次函數的圖像及單調性，易知當x∈（-∞，1）時，μ（x）為減函數；當x∈（2，+∞）時，μ（x）為增函數。

又y=log0.6 μ在定義域內為減函數，因此由復合函數的單調性可知x∈（-∞，1]，時，y為增函數；x∈（2，+∞）時，y為減函數。

四、忽視了函數的值域致錯

例4.求函數的y=（■）x+（■）x+1的值域。

錯解：令t=（■）x，則y=t2+t+1=（t+■）2+■≥■

即當t=-■時，ymin =■

所以函數的值域為[■，+∞）。

錯解分析：換元t=（■）x，t>0，而錯解中認為t∈R。

正確解法：令t=（■）x，則t∈（0，+∞），y=t2+t+1=（t+■）2+■。因為函數y在t∈（0，+∞）上是增函數，所以y>1，即函數y的值域是（1，+∞）。

五、忽視了隱含條件致錯

例5.設α、β是x2-2kx+k+6=0方程的兩個實根，則（α-1）2+（β-1）2的最小值是（ ）

A.-■ B.8 C.18 D.不存在

錯解：∵x2-2kx+k+6=0

∴α+β=2k α·β=k+6

∴ （α-1）2+（β-1）2=α2-2α+1+β2-2β+1

=（α+β）2-2α·β-2（α+β）+2

=4（k-■）2-■≥-■

∴選A

錯解分析：上述解法是受選項A的誘惑，盲從附和，這正是思維缺乏理性的體現，如果能以反思性的態度考察各個來源和它們之間的區別，就能從中選出正確答案。

正確解法：

∵原方程有兩個實根α、β

∴Δ=4k2-4（k+6）≥0？圯k≤-2或k≥3

當k≥3時，（α-1）2+（β-1）2的最小值為8，

當k≤-2時，（α-1）2+（β-1）2的最小值為18，

這時就可以做出正確的選擇，只有B正確。

綜上所述，在引導學生解函數問題時要全面分析，既要注意系數的取值，又要注意函數的類型、圖像位置以及函數圖像中有關的點、線位置的不確定性，以防出現漏解或錯解。

【責編 閆 祥】