弧齒錐齒輪高精度離散數值齒面嚙合分析

劉光磊，常 凱

（西北工業大學機電學院，西安 710072）

0 引言

弧齒錐齒輪齒面的分為間接法[1-9]和直接法[10-17]。在判斷加工參數的合理性時，一般采用基于間接法對齒面進行嚙合分析；在檢驗齒面的嚙合性能時，除了已知的滾檢機外，采用齒面直接法進行輪齒嚙合分析有望成為1個額外的選擇。相對于比較成熟的間接法分析，直接法輪齒嚙合分析尚在發展和完善中。Zhang Y[10]將理論齒面與誤差齒面疊加，采用5元3次非線性方程組間接表示真實齒面，與實際存在較大誤差；李左章[11]采用了5元3次非線性方程組，建立求解齒面接觸點的目標函數，運用復合形法，使計算過程穩定；孫殿柱、蘇智劍和張軍輝都采用3次非均勻有理B樣條，擬合螺旋錐齒輪齒面測量點。其中，孫殿柱[12]提出了不斷減小齒面間距，從而逐步逼近齒面接觸點的方法，幾何意義清楚；蘇智劍[13]提出用齒面計算點的連線與其中1個計算點的法線之間的夾角作為目標函數，并用復合形法求解齒面接觸點；張軍輝[14]對比了離散數值齒面嚙合分析與傳統輪齒嚙合分析技術；劉光磊[15-17]采用雙3次樣條擬合理論齒面離散點。上述直接法輪齒嚙合分析技術，有一些往往沒有給出令人信服的結果，而無法證明其方法的有效性。

本文基于雙3次樣條法，系統分析弧齒錐齒輪高精度離散數值齒面嚙合技術，為評價弧齒錐齒輪真實齒面的嚙合質量以及弧齒錐齒輪加工參數反求和齒面重構提供手段和理論依據。

1 基本坐標變換

1.1 齒面3坐標測量數據描述

采用3坐標測量機測量齒面時，得到9×5個點，虛線交點如圖1所示。其中，齒長方向9個，齒高方向5個，全部位于齒面邊界之內。測量坐標系的原點位于錐頂；x軸沿齒輪徑向指向齒面；z軸與齒輪軸線重合，從大端指向小端；y軸按右手規則確定，指向齒面離散點的中心點。

圖1 齒面離散數據測量區域

1.2 從測量坐標系到加工坐標系

為了便于與加工時的結果相比較，需要將測量的齒面離散點轉換到加工時的齒輪坐標系中。在加工時，與齒輪固結的坐標系的原點與錐頂重合；x軸與齒輪軸線重合，從小端指向大端；z軸沿齒輪徑向指向齒面；y軸按右手規則確定。

從測量坐標系到加工坐標系的矢量變換為

式中：ri和ric、ni和nic分別為加工坐標系Si和測量坐標系Sic中齒面離散點的位置矢量和法線矢量；角標i=1，2，分別表示小輪和大輪；PSi_Sic和 MSi_Sic分別為位置矢量和法向量變換矩陣，即

而法線矢量變換矩陣MSi_Sic取PSi_Sic中的前3行和前3列。

1.3 從加工坐標系到嚙合坐標系

離散齒面嚙合分析在嚙合坐標系中進行。令小輪坐標系S1的初始位置S10與嚙合坐標系Sh重合，那么，從小輪和大輪加工坐標系到嚙合坐標系的變換關系為

式中：φ1、φ2分別為 Si0與 Si之間的夾角；MSih_Si0、MSi0_Si做法同式（1）。

2 齒面嚙合點求解技術

2.1 離散點插值與加密的雙3次樣條法

測量得到的齒面離散點過于稀疏，需要加密。采用3次樣條先沿齒長方向分段光順，然后在樣條曲線上插入離散點；再沿齒高方向用3次樣條光順，同樣插入離散點。這種分別沿齒長和齒高方向插值和加密的方法稱為雙3次樣條法[11]。

2.2 齒面間距求解的局部坐標法

為了計算齒面間距，以靠近小端齒頂、小端齒根和大端齒根的3個離散點構建齒面局部坐標系。將小輪和大輪齒面離散點從加工坐標系轉換到該坐標系中，從一齒面上的離散點沿該處法線方向作直線，與另一齒面上3個相鄰點構成的三角形平面相交。當交點位于三角形內時，與三角形頂點連線之間的夾角之和等于360°，否則，交點位于三角形之外。一般交點不會落在離散點上，為此，用相鄰離散點構成的四邊形的1個角點來代表求解結果。當離散點間距足夠小時，可以將角點看作交點。齒面距離采用有向直線表示。當齒面有間隙時，距離為正；當齒面干涉時，距離為負。

2.3 搜索齒面最小間距的流水法

計算齒面最小間距采用全齒面搜索需要很長時間。為此，當從一齒面發出的直線與另一齒面相交后，即以該點為中心，與包圍它的8個相鄰離散點一起組成1個包含9個離散點的小網格。分別計算這些點上發出的直線到另一齒面的有向距離，從中找出距離最小的點。當距離最小的點位于小網格的中心時，即停止計算。上述過程稱為流水法。

2.4 齒面最小間距調整的無約束優化法

輪齒嚙合分析，就是在一齒面保持不動時，讓另一齒面靠上去，直到2者相切。當齒面間的最小間距滿足預定的收斂條件而接近于零時，即認為找到齒面嚙合點，不作齒面法線重合的判斷。當齒面網格足夠小時，嚙合點齒面法線誤差可以忽略。在調整齒面間距時，因無法判斷齒輪轉角需要調整的范圍，故采用無約束優化方法，建立齒面最小間距為目標函數，齒輪轉角為優化設計變量的優化模型。

2.5 齒面逐級加密

為了保證計算精度，齒面網格需要加密。但采用很密的網格，勢必花費很長的時間。為此，先用較粗的網格計算齒面間距最小點；然后以該點為中心，選擇與其相鄰的若干點，組成1個小齒面；再次采用雙3次樣條插值和加密，計算齒面最小間距。此過程可以一直進行下去，直到達到滿意的計算精度。

3 數值齒面嚙合分析

3.1 傳動誤差曲線與齒面接觸印痕

在嚙合分析時，小輪轉角等距變動，調整大輪轉角至小輪齒面與大輪齒面相切，大輪轉角的變動量為

式中：φ1、φ2分別為小輪和大輪的當前角位置；φ10、φ20分別為小輪和大輪的初始角位置；z1、z2分別為小輪和大輪的齒數。

按照格里森公司經驗，取齒面壓限量為0.00635 mm，計算齒面干涉區域，由此獲得齒面接觸印痕。

3.2 嚙合分析流程

綜合運用上述數值嚙合分析技術，模擬齒輪嚙合過程，如圖2所示。

4 實例

以某型發動機附件傳動中弧齒錐齒輪副的小輪凹面和大輪凸面為例，采用Matlab編程，進行離散數值齒面嚙合的具體應用分析。

齒輪副基本參數見表1。

經三坐標測量儀得到齒面離散點數據。齒面測量點數據和光順后的結果如圖3所示。齒長方向結點最大間距0.831mm，齒高方向結點最大間距0.591mm。

表1 齒輪副基本參數

將圖3中的數據經式（1）和式（2）變換至嚙合坐標系中，如圖4所示。其中，圖4（a）為加密前齒面副；圖4（b）為齒面網格加密后尚未接觸；圖4（c）為小輪不動、大輪齒面與小輪齒面剛剛接觸。

圖4 嚙合坐標系中的齒面副

數值齒面輪齒嚙合分析過程和結果如圖5所示。圖 5中（a）、（b）、（c）為嚙合分析開始、中間和結束的瞬時接觸區，其中的虛線部分為測量數據的邊界；圖5（d）為單齒嚙合的接觸印痕；圖5（e）為相鄰3對齒的傳動誤差曲線。因齒面測量數據限于齒面邊界內，在旋轉軸截面內，測量數據只有部分重合，如圖6中四邊形ABCD所示，所以相鄰傳動誤差曲線沒有相交，也無法得到多齒嚙合的接觸印痕。

5 結論

（1）提出基于3坐標齒面測量數據的弧齒錐齒輪離散數值齒面嚙合分析的一系列方法，經對航空弧齒錐齒輪的嚙合分析，證明了這些方法的有效性。

（2）為了獲得光滑的齒面接觸跡和傳動誤差曲線，網格間距的最大值不應大于0.01mm，嚙合分析時的小輪轉角步進量不應大于0.01 rad。

（3）由于3坐標測量齒面測量數據比實際齒面要小，基于此的嚙合分析一般無法獲得完整傳動誤差曲線和嚙合印痕。為了全面評價真實齒面的嚙合性能，需要以齒面測量數據為基礎，反求真實齒面加工參數，重構和拓展齒面，并經輪齒嚙合分析，再現完整的嚙合性能。

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