拉格朗日方程在電路中的應用

王長江

（四川職業技術學院，四川遂寧 629000）

拉格朗日方程在電路中的應用

王長江

（四川職業技術學院，四川遂寧 629000）

通過研究機械振動與電磁振動規律的相似性，建立起力—電模擬，將電學量納入相應的廣義力學量中去，可以利用拉格朗日方程分析電路問題.

力—電模擬；拉格朗日方程；電路分析

1 力—電模擬

如圖1所示的機械振動系統，質量為m的物體用一彈性系數為k的輕彈簧連接到墻上，設物體所受到的外力為f(t)=Fmcos(ωt)，阻尼力為fb=-bx˙，其中，b為阻尼系數，則物體的振動方程為

圖1 機械振動系統

圖2所示的RLC串聯電路，設電路兩端電壓為us(t)=Usmcos(ωt)，則電路的振動方程為

圖3所示的RLC并聯電路，設外接電流源電流為is(t)=Ismcos(ωt)，則電路振動方程為

式中，φ為電感中的磁鏈．

圖2 RLC串聯電路

圖3 RLC并聯電路

方程（1）、（2）和（3）都是二階微分方程，從數學上看，機械振動系統和電磁振動系統運動規律是相似的﹒兩種運動因數學描述上的相似性，揭示出方程中對應系數和變量各自代表的物理性質的相似性，可以在機械網絡與RLC電路網絡元件間建立起力—電模擬，如表1所示．

表1 力——電模擬

2 拉格朗日方程與電路方程

對于具有耗散力的力學系統，拉格朗日方程為

式中，qa為Q廣義坐標，qa為廣義速度，Qa為廣義力，L為拉格朗日函數，G為損耗函數．

對于電路網絡，依據力—電模擬，如果將各電學量納入相應的廣義力學量中，就可以用拉格朗日方程分析電路方程．

圖2的RLC串聯電路，若取電量q為廣義坐標，電流q˙為廣義速度，外加電壓us為廣義力，則有

它們分別表示通電線圈的磁場能，電容的電場能、電阻的焦耳熱功率，因此，從能量角度看，上述模擬是恰當的.

其拉格朗日函數為

將它們代人拉格朗日方程（4），不難得到電路方程（2）．

圖3的RLC并聯電路，取磁鏈φ為廣義坐標，電壓φ˙為廣義速度，外加激勵電流is為廣義力，則有

它們又分別表示電容的電場能、通電線圈的磁能、電阻的焦耳熱功率.

其拉格朗日函數為

將它們代人拉格朗日方程（4），便得到電路方程（3）．

3 拉格朗日方程的應用

RLC串并聯網絡如圖4所示，取C1上電荷q1和 L2的磁鏈為φ2廣義坐標，便有

拉格朗日函數

對于廣義坐標q1的廣義力，Qel=us-φ˙2由拉格朗日方程（4）可得

對于廣義坐標φ2的廣義力Qe2=q˙1，由拉格朗日方程（4）可得

式（5）、（6）便是基爾霍夫電壓方程和電流方程．

圖4 RLC串并聯電路

如將電壓uC1、uC2和電流iL1、iL2作為電路的狀態變量，可以得到電路的狀態方程為

[1]周衍柏.理論力學教程[M].第二版.北京：高等教育出版社，2004.

[2]石生.電路基本分析[M].北京：高等教育出版社，2004.

Application of Lagrange's Equation in Circuit

WANG Changjiang
（Sichuan Vocational and Technical college，Suining Sichuan 629000)

This paper studies the mechanical vibration and electromagnetic vibration regulation of similarity, establishes force-electric simulation, combined electrical quantity into the corresponding generalized mechanical quantity, analyzes circuit problems using Lagrange equation.

Force-electric Simulation；Lagrange Equation；Circuit Analysis

TM13

B

1672-2094(2013)05-0163-02

責任編輯：張隆輝

2013-07-18

王長江（1965-），男，四川渠縣人，四川職業技術學院電子電氣工程系副教授.