運用幾何變換，探究幾何性質

李鳳清

（四川職業技術學院，四川遂寧 629000）

運用幾何變換，探究幾何性質

李鳳清

（四川職業技術學院，四川遂寧 629000）

本文通過兩個實例，闡述如何運用幾何變換，來得到幾何性質的探究方法，并由此得到一些有趣的幾何性質.

位似變換；旋轉變換；幾何性質；探究

問題1

P為正三角形ABC內一點，三角形PAB，PBC，PCA的重心分別為D，E，F，三角形DEF是否為正三角形？

我們先是用計算的方法作探究.不妨設正三角形ABC的外接圓半徑為1，在直角坐標系下

DEF為正三角形.

我們運用位似變換，即可以得到正多邊形的幾個性質.

性質1對正n邊形A1A2…An與一個定點M，三角形MA1A2,MA2A3，…,MAnA1的重心分別為C1,C2，…,Cn，則多邊形C1C2…Cn是正n邊形.

性質2對正n邊形A1A2…An及其外接圓上一個定點M，三角形MA1A2，MA2A3，…，MAnA1的垂心分別為D1，D2，…,Dn則多邊形D1D2…Dn是正n邊形.

性質3對正n邊形A1A2…An及其外接圓上一個定點M，三角形MA1A2，MA2A3，…，MAnA1的九點圓心分別為E1，E2，…，En，則多邊形E1E2…En是正n邊形.

我們還可以得到正四面體的兩個性質.

性質4對中心為O的正四面體ABCD與空間一定點M，設四面體MBCD,MACD,MABD,MABC的重心分別是O1，O2，O3，O4，則四面體O1O2O3O4是正四面體.

性質5對中心為O的正四面體ABCD與空間一定點M，設三角形MAB,MAC,MAD,MBC,MBD, MDC的重心分別是O1，O2，O3，O4，O5，O6，則O1，O2，O3，O4，O5，O6，一個正八面體的六個頂點.

證明略.

用變換的觀點來看待幾何,乃是德國數學家克萊因(F.Klein)的首創，也是新課標的倡導與要求.從上面例子看出，運用變換的觀點來看一些幾何圖形，的確能把握幾何性質的實質。下面再舉一例.

問題2

如圖1，三角形ABC與三角形ADE滿足AB= AD,AC=AE,且∠DAB=∠EAC=900.則三角形ABC邊BC的中線AF必垂直于直線DE.

該題的證明也很多，是一道幾何名題.但我們用旋轉變化即可揭示其本質.將圖1中三角形ABC繞A點逆時針旋轉一個直角后變成圖2情形，由三角形中位線定理，顯然圖2中AF∥DE,那么圖1中AF必垂直于直線DE.

根據上面方法，我們即可得到問題2的推廣.

命題如圖3，三角形ABC與三角形ADE滿足AB=AD,AC=AE且∠DAB+∠EAC=1800，F為線段BC的中點，直線AF與直線DE相交于G.則∠FGD=∠BAD.

證明略.

[1]徐峰.正多邊形的兩個性質[J].數學通報，2013,(01): 61-63.

責任編輯：張隆輝

G633.63

A

1672-2094(2013)05-0144-02

2013-08-15

李鳳清（1978-），女，四川遂寧人，四川職業技術學院應用數學與經濟系講師。