Gerschgorin圓盤的分離

廖平

（四川職業技術學院，四川遂寧　629000）

Gerschgorin圓盤的分離

廖平

（四川職業技術學院，四川遂寧629000）

摘要：Gerschgorin圓盤定理是矩陣特征值估計的一個基本定理，給出了兩個Gerschgorin圓盤可分離的一個充分條件，并通過數值算例進一步驗證了所得結果的有效性.

關鍵詞:蓋爾圓盤定理;特征值估計;分布區域;圓盤分離

1　引言

1931年，G erschgor in證明了著名的G erschgor in圓盤定理[1,2]，指出矩陣Mn×n的所有特征值包含在以對角線元素為圓心的n個圓盤的并集中

若某個圓盤孤立，則該圓盤中有且僅有一個特征值，k個圓盤構成的連通區域定含k個特征值，但不保證每個圓盤都含一個特征值.因此，改進圓盤定理，分離連通圓盤以得到更準確的特征值估計受到人們的極大關注[3-5].其中最為簡便的方法是利用正對角矩陣D=diag(d1,d2,…,dn)做相似變換.文獻[5]給出了對角相似變換能分離兩個連通圓盤的一個充分條件.即

定理A設A∈Cn×n，若存在i，j∈N,使Ri≠0，且

則A的第i個G erschgorin圓盤和第j個G erschgorin圓盤可分離.

本文給出兩個連通圓盤能分離的另一個更易于驗證的充分條件，進一步完善了文獻[5]的結果.文中Cn×n表示所有n階復方陣組成的集合.

2　主要結果

引理1設A∈Cn×n，若，則A的第i個G erschgorin圓盤和第j個G erschgorin圓盤分離.

定理1設A∈Cn×n，若的第i個G erschgorin圓盤和第j個G erschgorin圓盤可分離.

其中ε＞0為任意正數。

由引理1即得定理1.證畢.

注1：由定理1的證明知，若要分離第i個和第j個G erschgor in圓盤，只需取，然后按定理1中方法取對角矩陣做相似變換即可.同時，不難得出變換后矩陣B其余圓盤半徑因此，若要減小變換對其余圓盤的影響，避免出現第i個和第j個圓盤分離后造成其余原本分離圓盤相交的情形，應盡量選取滿足條件的更小的p值，使其余圓盤半徑的變化盡量的小.

3　數值算例

例1設

顯然矩陣A的兩個G erschgorin圓盤G1與G2相交，不難計算s12=1＞0因此定理A不能用于此例.由本文定理1，容易驗證，所以圓盤G1與G2是可以分離的，取

可以看出此時圓盤G1與G2已經分離，且三個圓盤均已獨立.由G erschgorin圓盤定理知矩陣A的三個特征值分布范圍分別是

例2設

顯然矩陣A的兩個G erschgorin圓盤G1與G3相交，但s13＜0，因此定理A仍不能用于此例.由本文定理1，容易驗證，所以圓盤G1與G3是可分離的，取p=3.5＞3，D= diag(3.5,1,3.5,1)，則

此時圓盤G1與G3分離.且四個圓盤均獨立.由G erschgorin圓盤定理知矩陣A的四個特征值分布范圍分別是

注2：比較文獻[5]之定理A和本文定理1，可以看出本文定理條件驗證更為方便，且變換參數的選擇具有更大的靈活性，當Ri(A),Rj(A)相對|aji| 較大時，需指出的是二者分別適用于不同類型的矩陣。

參考文獻:

[1]R.A.Horn,H.R.Johnson.Matrixanalysis[M].Cambridge University Press,Cambridge,1985.

[2]詹興致.矩陣論[M].北京:高等教育出版社,2008.

[3]陳祖明.矩陣特征值的一類新的存在性區域[J].應用數學學報,2001,4(2):177-184.

[4]樊啟毅,周驚雷.矩陣特征值新的包含域[J].應用數學學報,2005,28(2):319-324.

[5]張平平,伍俊良,胡興凱.G erschgorin圓盤的分離[J].西南師范大學學報(自然科學版),2011,36(3):1-3.

責任編輯：張隆輝

中圖分類號：O151.2

文獻標識碼:A

文章編號：1672-2094（2013）04-0160-02

收稿日期:2013-06-28

基金項目：四川省教育廳基金項目《矩陣特征值分布研究》（13Z B0033）研究成果之一.

作者簡介：廖平(1983-),男,四川自貢人，四川職業技術學院應用數學與經濟系助教，碩士.主要研究方向為應用數學.